三角函数第6-8讲教师版.docVIP

第六讲 三角函数的图像和性质 探究点一　求三角函数的定义域 f (x)＝（2）y=. y＝＋lg(2sin x－1)(1) 由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0 ∴cosx≠0即x≠kπ＋，(k∈z) ∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈z｜}方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2, 所以定义域为. 方法二 利用三角函数线， 如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则≤x≤（在［0，2］内）. ∴定义域为 . 方法三 sinx-cosx=sin≥0， 将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 可知2k≤x-≤+2k, 解得2k+≤x≤+2k,k∈Z. 所以定义域为. 　，kZ 解析　由题意得 ， 解得， 即x，kZ. 探究点是 （ ） A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【解析】因为为奇函数,,所以选A. （2）（2007广东）若函数，则是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 答案D （3）（2009江西卷文）函数的最小正周期为 A．B．C．D．解析可得最小正周期为,故选A. （4）已知为偶函数，则可以取的一个值为（ ） A． B． C．－ D．－，函数为奇函数，则a＝( ) （A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1 ●解法1:由题意可知，得a=0；解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0；解法3：由f(x)是奇函数图象法函数画出的图象选A 探究点三角函数的单调性 (1)求函数y＝sin，x[－π，π]的单调递减区间； 解　(1)由y＝sin， 得y＝－sin， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，kZ， 又x[－π，π]， －π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π. 函数y＝sin，x[－π，π]的单调递减区间为，，. ，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，求的单调递增区间。 【解析】，由题设的周期为，∴， 由得， 已知函数，．求函数的单调递增区间． 【解析】 ． 当，即（）时， 函数是增函数， 故函数的单调递增区间是（）． （3）已知, f(x)=。 (1)求函数在[0,(]上的单调增区间； 解：（1）依题意得： 令 得 上的单调增区间为 探究点四：三角函数的对称性 （1）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A . B. C. D. 解析: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选C （2）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 答案 A （3）（2007安徽）函数的图象为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）． ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象 答案 ①②③ （4）（2009常德期末）若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程 A. B. C. D. 答案 C （5）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图象的对称轴方程和对称中心的坐标． == （1）T=π； （2）由 可得单调增区间（． （3）由得对称轴方程为， 由得对称中心坐标为 （6） (2008广东省四校联合体第一次联考)设函数，其中向量 (1)若函数 (2)若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数m及n的值。 解：（1） （2）的图象按向量平移后得到的图象 （7）已知（其中），函数，若直线是函数f（x）图象的一条对称轴， （1）试求的值； （1）直线为对称轴，， ， 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象三角函数模型的简单应用 探究点一　三角函数的图象及变换 例1　已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 解题导引　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点