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从3,5,7出发–拟毕氏三角形之研究
從 3, 5, 7 出發 –
擬畢氏三角形之研究
陳學儀
台北市立第一女子高級 中學
Abstract
Our project aims to study the Similar Pythagorean Triangle. We started with the
Law of cosines and the right triangles. We tried to work out some generalized for-
mulas by using the theorem that generates Pythagorean Triples. Then we defined the
Primitive Similar Pythagorean Triples, and derived much more theorems from it. In
addition, we formulated many theorems of area, perimeter and side by observing a
whale of data on Microsoft Excel.
摘摘摘要要要: 我們從餘弦定律與直角三角形 出發, 同時以兩種方向進行: 首先, 試 以畢氏數製
機之原理做 出擬畢 氏數製 機, 並定義基本擬畢 氏數, 接著延伸 出相關定理; 另外, 透過
觀察 Excel 之數據, 研究 出面積, 周長與邊長之各項定理. 最後,我們推廣我們的結果到
更一般的三角形並且開拓 出費瑪點的新研究觀點.
1 簡簡簡介介介
1.1 研研研究究究動動動機機機
上高 中以後新接觸到三角函數, 我們對於餘弦定律備感興趣, 因為很多平時使用的基礎定
理, 都可以用餘弦定律加 以證明. 有一次利用餘弦定律來計算夾角為 120 度三角形的整數
邊, 而那猶如設計過的數字“3, 5, 7”, 讓我們聯想到其是否與直角三角形一樣有某種規律,
因此我們便開始進行這項研究.
1.2 研研研究究究 目目目的的的
2 2 2 2
因為直角三角形有畢 氏數和畢 氏數製 機 m n , 2mn, m n , 我們猜想其他的三角
形是否也有這些特殊的關係, 所 以決定從夾角 120 度的整數邊三角形著手, 希望能找 出類
似畢氏數製 機, 或是其整數邊長解的規律, 並從一組整數解推 出其他組解.
1
1.3 研研研究究究結結結果果果
我們一開始參考 《從勾股定理談起》做 出了擬畢 氏數製 機 (名詞定義請參考 2.1 節), 在
排除了一些條件後, 得到了基本擬畢氏數定理:
定定定理理理 1.1. 若 a, b, c 為基本擬畢 氏數, 則存在唯一的一組 m, n , m, n 1 且 n m 不
為 3 的倍數
2
a m 2mn
s.t. b n2 m2
2 2
c m mn n .
透過數據的觀察, 我們發現了擬畢氏三角形會有最大擬畢氏三角形, 更推得了最大奇數
定理與最
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