自动控制理论 自考 习题解答第5章稳定性分析.docVIP

第五章 稳定性分析 5—1 解： 系统的特征方程为。 因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S平面的左半面，所以此系统稳定。 系统的特征方程为。 因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。 （注：BIBO稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S平面的左半平面。若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。） 5—2 解： （1）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 又三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（），满足稳定的充分条件。 ∴ 该控制系统稳定。 （2）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh表如下： S4 1 3 9 S3 1 5 S2 9 S1 0 S0 9 Routh表中第一列元素出现负号，所以系统不稳定。并且其符号变化两次，故系统有两个特征根在S平面的右半部。 （3）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 又三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（），不满足稳定的充分条件。 ∴ 该控制系统不稳定。 （4）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 列写Routh表如下： S6 1 4 10 12 S5 6 (3) 6 (3) 14 (7) S4 12 S3 S2 12 S1 S0 12 结论：表中第一列元素出现负数，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。 （5）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 列写Routh表如下： S5 1 24 23 S4 2 （1） 48 （24） 46 （23） S3 0 （1） 0 （12） S2 23 S1 S0 23 结论：表中第一列元素出现零元素，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。 由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程 利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。 5—3 解： （1）系统开环极点为-1、-2、-3，均在S平面的右半平面，所以开环系统稳定； 闭环系统的特征方程为 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。 （2）系统开环极点为0、-1、-2、-3，有一个在原点处，所以开环系统不稳定； 闭环系统的特征方程为 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件； 列写Routh表 S4 1 11 20 S3 6 （1） 6 （1） S2 （1） 20 （2） S1 0 S0 2 结论：表中第一列元素出现负号，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定，根据第一列元素符号变化情况，有2个特征根在S平面的右半平面，其它2个在S平面的左半平面。 （3）系统开环极点为0、1、-5，其中一个在原点处，一个在右半平面，所以开环系统不稳定； 闭环系统的特征方程为 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。 （4）系统开环极点为0、1、-3/2，其中一个在原点处，一个在右半平面，所以开环系统不稳定； 闭环系统的特征方程为 特征方程的系数不全大于零，不满足系统稳定的必要条件，所以，系统不稳定。若列写Routh表可以确定根的分布。 开环系统稳定与否是由系统开环极点的位置确定；而闭环系统稳定与否是由系统闭环极点的位置（或特征根的位置）确定。所以，开环系统稳定，闭环系统不一定稳定；开环系统不稳定，闭环系统也不一定不稳定。 5—4 解： 系统稳定的必要条件是； 系统稳定的充分条件是； 所以系统稳定的充分必要条件是。 系统稳定的必要条件是； 系统稳定的充分条件是 由得： 由得： 所以系统稳定的充分必要条件是。 5—5 解： （1） 系统的特征方程为 系统稳定的必要条件是； 系统稳定的充分条件是； 所以系统稳定的充分必要条件是。 （2）若希望系统的特征根具有稳定裕量，则表示特征根不但在S平面的左半平面，且距虚轴有一个单位。 设，做坐标变换。得 系统稳定的必要条件是； 系统稳定的充分条件是； 所以系统稳定