2016宜宾柳嘉职中对口升学数学二轮复习教案及试题：基本不等式的应用（一）.docVIP

基本不等式的应用（一） 三维目标 一、知识与技能 1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式； 2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路； 3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 三、情感态度与价值观 1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯； 2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量； 3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣. 教学过程 导入新课 师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式 来尝试证明一些简单的不等式. (此时，老师用投影仪给出下列问题) 推进新课 问题1.已知x、y都是正数，求证： (1)； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？ （思考两分钟） 生 不可以证明. 师 是否可以用基本不等式证明呢？ 生 可以. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵x、y都是正数，∴，.∴，即. 师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？ （齐声：完成） ［合作探究］ 师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？ （引导同学们积极思考） 生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质. 师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位. 生 ∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x 2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2·2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y 2）（x 3＋y3）≥８x 3y3.  师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到. （在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视） 师 在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证. (此时，老师用投影仪给出下列问题) 问题3.求证：. （此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生） 师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键.  （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a 2＋b2）≥（a＋b）2. 不等式两边同除以4，得≥，即. 师 下面同学都是用这种思路解答的吗？ 生 也可由结论到条件去证明，即用作差法. 师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成. ［课堂练习］ 1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. ∵a、b、c都是正数， ∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0. ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc, 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. ［合作探究］ 2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：. （老师先分析，再让学生完成） 师 本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题. (在教师引导下，学生积极参与下列证题过程) 生 ∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）, ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx. ∴ax－ay＋by－bx＞0. ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0. ∴（a－b）（x－