离散超小波变换下矩阵的谱分析.pdfVIP

2007年第6期 九江学院学报 (总第143期) No，6，2007 Journal of jiujiang University (Sum NO 143) 离散超小波变换下矩阵的谱分析 黄祖达 马 (1湖南文理学院数学系 湖南常德 415000；2九江学院理学院 江西九江 332005) 摘要：本文在离散超小波变换的基础上研究最优双正交小波。用特征值接近1来描述 “正交程度”。当且仅当Min MaxA ( )越接近于1时，正交程度越高。通过对离散超小波 变换下双正交小波谱分析来解决最优双正交小波对正交变换的接近问题，同时也得到了双 正交小波谱有界这一类相关问题。 关键词：离散超小波变换；循环矩阵；谱；最优双正交小波基 中图分类号：0 158 文献标识码：A 文章编号：1673—4580(2007)06-0052一(03) 在一个特定的双正交小波族里，最优小波到 底有多么接近一个正交变换，它能无限接近吗? n { ^ +暑无 ， )。 (1—1) 如果它不能无限接近，当双正交小波变换矩阵维 证明见参考文献[3]。 数变化时，双正交小波变换矩阵是否有界?这就 定理1：如果 { ^ }，{ gn}是一组滤波器，它 是本文要研究的问题。 们构成2Ⅳ维循环矩阵 ，那么4乏hi2乏g 1，当 在离散小波理论里，表现好的双正交小波往 矩阵A=MM 是对角矩阵时等号成立。 往 “接近”一个正交变换，这一思想较早出现在 证明：砌 =，， 为非奇异矩阵，A=MM 是 文 [5]。由代数理论可知，一个矩阵P是正交矩 正定对称矩阵。 阵，当且仅当PP 的所有特征值都是1，如果用PP 矩阵A的主对角线上的元素为22,hi 或22, 的特征值来描述“正交程度”的话，应该是这些特 g。， 征值尽可能在某种意义下接近于1。最优条件(见参 由引理1可得，det(A) I]【n =(4∑ ^i ∑ 考文[2])可以有下述表示：假设参数集合是n， ~-- gi ) 。 对于任意的 ∈n，M(∞)是一个2N维的变换 矩阵，A ( )(1 2N)是 ( )M ( )的特征 由弓I理2可得，det(A)=IIA =1， 值。则g．O满足：Min Max A ( )。 A 是矩阵A的特征值(1 2N)。 1 最优双正交小波变换下的谱分析 所以4∑i^ ∑i g 1。 1．1当维数固定时，双正交小波基变换矩阵谱不能 当矩阵A=MM 是对角矩阵时等号成立，特别 无限接近于1。 地，当主对角线的元素2暑h =2乏g =1时，A是 引理1：A=(ni ) 是 n维实正定矩阵，则 单位矩阵，那么 是正交矩阵。 定理2： det(A) nn 当A为对角矩阵时等号成立。 ‘= J 弓I理2：^ =(一1) g。一 ，h ：(一1) g。一 ，{h } 和{g }生成2n维循环矩阵 ，如果A是A = (1—2) 的特征值，那么1／A也是矩阵A 的特征