基于matlab的数学实验-线代中的若干问题1.docVIP

基于MATLAB的数学实验 ——线性代数中的若干问题（一） 1．１ 引言 线性代数的理论及其方法是科学研究和工程应用中最常用的数学重要工具之一，事实上，线性代数的理论及其方法不仅在涉及线性问题的场合，而且在处理非线性问题时也起着重要的作用，因此，掌握线性代数的基本理论并具有正确使用其方法的能力，已经成为现代科学技术和工程实践对专业技术人员素质的基本要求之一。 1．２　病态矩阵与线性方程组求解 在许多问题的研究和解决的过程中，都会涉及到线性方程组的求解。然而，线性方程组的求解本身所涉及的问题，并不象教科书中所表现的那样的完美和简明，如线性方程组： 　　　　　　　　　　　　　　　　（1．１） 其中，，当可逆时，我们知道方程组（1．1）存在唯一解： 　　　　　　　　　　　　　　　　（1．2） 并且我们也有了计算的公式：　 ，　　　　　　　　　　　　　（1．3） 然而，当我们使用上述公式具体计算时往往回遇到下面的问题： １、矩阵的元素是无理数──这将导致无法得到精确解； ２、矩阵的阶数很大，如等于几十、几百甚至更大──计算量非常大，因此要借助于计算机的帮助，然而计算机给我们带来求解希望的同时可能也带来了截断性误差； ３、矩阵是病态的，即的条件数较大──在１，２存在的情况下，如果不“谨慎”求解，的病态性将使求得的结果严重失真； 上述的问题１，２容易理解，下面我们重点讨论问题３。 1．3　线性方程组的经典求解方法（高斯消去法）的不足 引例 考虑如下（梯形）线性方程组： 高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（１）化成（上或下）梯形的形式。 ２）高斯消去法——示例 考虑如下线性方程组： 第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘 －１加到第三个方程的两端，得 ２）　第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端，得 3）从上述方程组的第三个方程依此求解，得 ３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法 在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为 高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。 列主元素消去法的基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）,使乘数. 列主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算，得到矩阵 . 第步计算如下：对于， （1） 选列主元素，即确定使； （2） 如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算； （3） 如果，则交换第行与第行元素； （4） 消元计算： （5） 回代计算： 完全主元素消去法即是每次选主元时，依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素，然后交换两行、两列，再进行消元计算. 完全主元素消去法的步骤：设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算，得到矩阵 . 第步计算选主元素的范围为，即确定使. 第步计算如下：对于， （1） 选主元素，即确定使； （2） 如果，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算； （3） 如果，则交换第行与第行元素；如果，则交换第列与第列元素； （4） 消元计算： （5） 回代求解. 【注】 完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但完全主元消去法解方程组，在选主元素时要化费较多的计算机时间，行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同，实际计算时，用列主元消去法即可满足一定的精度要求. 对同一数值问题，用不同的计算方法，所得结果的精度大不一样.对于一个算法来说，如果计算过程中舍入误差能得到控制，对计算结果影响较小，则称此算法是数值稳定的；否则，如果计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大，则称此算法为数值不稳定的.因此，我们解数值问题时，应选择和使用数值稳定的算法，否则如果使用数值不稳定的算法，就可能导致计算失败. 例 用高斯列主元消去法解方程组 解 . 所以，方程组的解为. ４）高斯列主元素消去法的MATLAB实现：，意为． 例 LinearEquiation02.m A= [-0.3999 0.6686 -1.6041 0.5287 -1.0106 0.6900 1.1908 0.2573 0.2193 0.6145 0.8156 -1.2025 -1.0565 -0.9219 0.5077 0.7119 -0.0198 1.4151 -2.1707 1.6924 1.2902 -0.1567 -0.8051 -0.0592 0.5913]; b=randn(5,1);