考研试题分析五(定积分及其应用).pdfVIP

考研试题分析五（定积分及其应用） x ∫sin(xt )2 dt 0 例 1 . 求极限 lim 。 3 2 x →0 x sin 2x [分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在 被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外， 在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。 2 2 4 4 [解] 对定积分作变换 u xt ，由于sin 2x ～(2x) ，sin x ～x ，(x →0) ，因此再 利用洛必达法则有 2 x 1 2 x 2 sin u dx 2 4 ∫ sin u du 0 x ∫ 2x sin x 原式= lim 3 2 = lim 0 6 lim 5 x →0 x (2x) x →0 4x x →0 24x x 4 1 = lim 4 x →0 12x 12 1 例 2 . 求极限 lim n (n +1)(n +2) ⋅⋅⋅(2n) . n→∞ n [分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将xn 变型成和 n 式∑f (ξ )∆x 。 i i i 1 1 n [解] 令 xn (n +1)(n +2) ⋅⋅⋅(2n) n 1 则 ln xn [ln(n +1) +ln(n +2) +⋅⋅⋅+ln(2n)] −ln n n 1 = [ln(n +1) +ln(n +2) +⋅⋅⋅ln(2n) −n ln n] n 1 1 2 n = [ln(1+ ) +ln(1+ ) +⋅⋅⋅+ln(1+ )] n n n n