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立体几何练习题 1．在直四棱住中，，底面是边长为的正方形，、、分别是棱、、的中点. (Ⅰ)求证：平面平面; (Ⅱ)求证：面. 2．如图，正方体，E为AB的中点(1)求证： （2）求的距离. 3.如图所示，在三棱柱中，，． （Ⅰ）的体积； （Ⅱ）是棱的中点棱点，证明 4．如图，在棱长均为2的三棱柱中，设侧面四边形的两对角线相交于，若⊥平面，. (1) 求证：⊥平面； (2) 求三棱锥的体积. 5.如图，在体积为1的三棱柱中，侧棱底面，， ，E为线段上的动点. （Ⅰ）求证： CA1C1E； （2）线段上是否存在一点E，使四面体E-AB1C1的体积为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB1A1A和侧视图A1ACC1均为矩形，其中AA1=4。俯视图ΔA1B1C1中，B1C1=4，A1C1=3，A1B1=5，D是AB的中点。 （1）求证：AC⊥BC1； （2）求证：AC1∥平面CDB1； （3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。 7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点。 （Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证： 8． 如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，，， 点是的中点，点在上移动。 （1）求三棱锥体积； （2）当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由； （3）求证： 9．如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积．10．如图6，已知四棱锥中，⊥平面， 是直角梯形，，=90o，． （1）求证：⊥； （2）在线段上是否存在一点，使//平面， 若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由． 11. . 12．如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图C尺寸如图 所示）。 （Ⅰ）求四棱锥的体积； （Ⅱ）若上的动点，求证：。 13．如图，四边形为矩形，平面, ，平面于点， 且点在上. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求三棱锥的体积； （Ⅲ）设点在线段上，且满足， 试在线段上确定一点，使得平面. 14．已知四棱柱的三视图如图所示. （1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的 体积； （2）若为上一点，平面， 试确定点位置，并证明平面 15.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，． （Ⅰ）证明：截面四边形是菱形； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 16．正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起(如下图)，使A、C点重合于A’点． (1)证明：A’DEF； (2)当BF=BC时，求三棱锥A’一EFD的体积． 17、已知四棱锥的三视图如下，是侧棱上的动点求四棱锥的体积； 2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论3) 若点为的中点，求二面角的大小18、如图，已知平面，平面，为等边三角形， ，为的中点求证：平面； 求证：平面平面； 求和平面所成角的如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。 （I）求异面直线PA与DE所成的角； （II）求点D到面PAB的距离. 20．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD︿BC （2）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30(角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。 21. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面为菱形，. (Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余 弦值. 立体几何参考答案 1. 证明:(Ⅰ)分别是棱中点四边形为平行四边形 又 平面……………3分 又是棱的中点 又 平面……………5分 又平面平面……………6分 (Ⅱ) ,同理 ……………9分 面 又, 又,面,面 面………12分 2. （1）连接BD，由已知有、得 又由ABCD是正方形，得：、 ∵与相交，∴ （）∵∴ 又∵ ∴ 点E到的距离，有： ， 又由 ， 设点B到平面的距离为， 则 ， 有，， 所以点B到平面的距离为 3. 【解】在中，，，．，∴四边形为正方形． ----6分 （Ⅱ）为棱，平面的中点，连、、， ∵、、分别为、、的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面．　　　　 ------10分 同理可证平面．∵， ∴平面平面．∵平面，∴平面⊥平面，而AO平面 ∴⊥