中职数学（人教版）： 函数的概念教学教案.docVIP

第01讲 函数的概念 一、函数及其三要素： （一）知识归纳： 1．映射：如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素的和它对应，则这种对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.若a∈A， b∈B，且a和b对应，则称b是a的象，a是b的原象. 如果f：A→B是集合A到集合B的映射，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则这种映射叫做一一映射. 2．函数：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称f：A→B为集合A到B的一个函数，记作 变量x称自变量，x的取值范围A称函数的定义域；与x的值对应的y的值称函数值，函数值的集合称函数的值域. 对应法则、定义域、值域称函数的三要素. 函数是定义域到值域的一种特殊映射. （二）学习要点： “函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法. 1．对应法则f：表示函数的对应法则有解析法、列表法与图象法，其中解析法是最基本、最重要的方法，中学数学中学习的函数基本都能用解析法表示. ①能熟练对函数的解析式进行变换（如赋值、变量代换、换元等），并能求出满足条件的各种函数的解析式，这是函数学习的重要基本功； ②将综合应用问题转化为函数问题，并建立函数的解析式，这是函数应用的关键步骤，需要经过长期的学习逐渐培养的重要能力； ③中学数学中学习的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 若一个函数的自变量又是另一个变量的函数；即，这种函数又称复合函数； 在学习中要逐步掌握这些函数解析式的特点与方法. 2．定义域：解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义. 3．值域：求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域， ①配方法（将函数转化为二次函数）； ②判别式法（将函数转化为二次方程）； ③不等式法（运用不等式的各种性质）； ④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）. 必须注意，运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换，但必须保证变换的等价性。否则可能引起所求值域的扩大或缩小.另外，求函数的值域必须认真考察函数的定义域,如果定义域是闭区间，则先求得函数的最大、小值，得函数的值域为 【例1】解答下述问题： （Ⅰ）设函数 [解析]这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换， = = （Ⅱ）设函数不恒为零，且对定义域内的任意x都有 而. [解析]∵条件不好使用，∴应通过换元将该条件变得更好用. 令 ∴ ，这是关于x的恒等式， ∵f(x)不恒为零，且a=0,b≠0，∴c=2， ， ， ， ， 故，. [评析]例2讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功. 【例2】解答下述关于定义域的问题： （Ⅰ）求下述函数的定义域： （1）； （2） [解析]在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论. （1），解得函数定义域为. （2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论）， ①当a=0时，函数定义域为； ②当时，得， 1）当时，函数定义域为， 2）当时，函数定义域为， 3）当时，函数定义域为； ③当时，得， 1）当时，函数定义域为， 2）当时，函数定义域为， 3）当时，函数定义域为. （Ⅱ）已知函数的定义域为， 求函数的定义域； [解析]， ∴所求函数定义域是； （Ⅲ）函数， （1）若的定义域为R，求实数的取值范围. （2）若的定义域为[－2，1]，求实数a的值. [解析]∵是由二次（或一次）函数为主体的复合函数，∴解答的主要知识是二次函数知识. （1）①若， 1）当a=1时，，定义域为R，适合； 2）当a=－1时，，定义域不为R，不合； ②若为二次函数， 定义域为R，恒成立， ； 综合①、②得a的取值范围 （2）命题等价于不等式的解集为[－2，1]，显然 、是方程的两根， ，解得a的值为a=2. [评