高等数学逆矩阵.pptVIP

* 在数的运算中, 当数 a ? 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中的1, 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得 为a 的倒数, 或称a的逆(元). 其中 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵, 称A-1为A逆阵. 一、逆矩阵的概念和性质 §2.3 逆 矩 阵 定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = E 则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作A-1. 例如: 设 由于 AB = BA = E, 所以, B为A的逆矩阵. 说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的. 事实上: 若设B和C是A的逆矩阵, 则有 所以, A的逆矩阵是唯一的, 即 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得: B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C. B = C = A-1. 解: 利用待定系数法. 例1: 设 求A的逆矩阵. 是A的逆矩阵, 设 即 又因为 则 解得, 所以 即 AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法. 则 证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = E. 定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | ? 0, 且 其中A*为矩阵A的伴随矩阵. 故, | A || A-1 | = | E | = 1, 所以, | A | ? 0. 由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知 当| A | ? 0时, 按逆矩阵的定义得, 当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异矩阵. 由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵. 证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1, 推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1. 故| A | ? 0. 因而, A-1存在, 于是 B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1. 故结论成立. 逆矩阵的运算性质 (1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A. 当| A | ? 0 时, 定义 A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数). 且此时对任意整数?, ?, 有 A?A? = A?+?, (A?)? = A??. (2) 若矩阵A可逆, 且? ? 0, 则 ?A 亦可逆, 且 证明: (4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T. AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E, 所以, (AT)-1=(A-1)T. (3) 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1. 证明: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E, 所以, (AB)-1=B-1A-1. (5) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=| A |-1. 证明: 因为 AA-1 = E, 所以, | A | | A-1 | = | E | = 1, 因此, | A-1 |=| A |-1. 的逆矩阵. 例2: 求方阵 解: 因为 二、关于逆矩阵的计算 所以A-1存在. 同理可得 所以, 故 解: 例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵. 所以, A可逆. 由于 同理可得 所以, 由于 故B不可逆. 例4: 求 的逆矩阵( ad – bc ? 0 ). 解: 用伴随矩阵的方法求A逆阵. | A | = ad – bc ? 0. A11 = d, A21 = –b, A12 = –c, A22 = a . 设 则A可逆且 则 求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法, 其做法如下: 例5: 设 求矩阵X使其满足 AXB=C. 解: 由于 所以, A-1, B-1都存在. 且 先将矩阵A中的主对角元素调换其位置, 再将次对角元素调换其符号, 最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素, 即可得A的逆矩阵A-1. 又由 AXB = C, 得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1, 则 X = A-1CB-1. 于是 X = A-1CB-1 例6: 解矩阵方程 解: 给方程两端左乘矩阵 得 例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并