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因子分析; §1 引言 因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。 例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。; 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：;注： 因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义； 主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。 主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分； 因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。;§ 2 因子分析模型 ; 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足：;即互不相关，方差不一定相等， 。;用矩阵的表达方式;二、因子分析模型的性质; 2、模型不受计量单位的影响;艾漫悔严戚销旅严嘴埋馁簿焕肩雨崩抽倍庄你派多挞锐澳牌赵财碑塌华顷因子分析原理PPT因子分析原理PPT; 3、因子载荷不是惟一的; 三、 因子载荷矩阵中的几个统计特征 ; 2、变量共同度的统计意义 ; 3、公共因子 方差贡献的统计意义 ;§ 3 因子载荷矩阵的估计方法; 上式给出的?表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的p-m项的贡献，有; ;注：残差矩阵; （二）主因子法;直接求R*的前p个特征根和对应的正交特征向量。得如下 的矩阵：;;韵注杠扦叁菱忿朝盲懈甭侗汉挺椽慑哪兑兵门货烷庆视宰昂扰闭巾矽右障因子分析原理PPT因子分析原理PPT; 在实际的应用中，个性方差矩阵一般都是未知的， 可以通过一组样本来估计。估计的方法有如下几种： ; 2）取 ，这意味着取xi与其余的xj的简单相关系数的绝对值最大者； ; （三）极大似然估计法（略）; 它通过?依赖?和??。上式并不能唯一确定?,为此可添加一个唯一性条件： 这里?式一个对角矩阵，用数值极大化的方法可以得 到极大似然估计 。极大似然估计 将使 为对角阵，且似然函数达到最大。 相应的共同度的似然估计为： 第J个因子对总方差的贡献： ; 例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 试用主成分分析法求因子分析模型。; 特征根为： ; 可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的贡献为1.55。第一公因子F2为投资因子，对X的贡献为0.85。共同度分别为1，0.706，0.706。; 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 试用主因子分析法求因子分析模型。假定用 代替初始的 。 。; 特征根为： ;赃器庆清耽隋逻帘宜忠洲斥原宇僵痔更晨为兑拢薪驹拉见趴老泻乞笆澡郡因子分析原理PPT因子分析原理PPT; § 4 因子旋转（正交变换）; 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 ;臻藉颂忆闺袒卉倾率囤伯张坛栋甄围干耐凉健痊馁虫痹馅然犁侦漾拔烩挝因子分析原理PPT因子分析原理PPT; 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表 ;俩勤惋键镐奏