数值分析.南京电大 36讲 szfx24.docVIP

例2、计算的近似值。 ，即求的根，f ’(x)=2x  这是求平方根的简单很有效的迭代算法，此式就是从牛顿迭代中推出来的。例：求初值取x0=20 精确值为14.142136…，收敛速度很快。 五、多重根的情况 如果x*是f(x)=0的m重根，将迭代公式修改为：而实际情况m往往是不知道的，而如x*是f(x)的m重根，则x*是f ’(x)的m-1重根，则x*是的单根了，则对k(x)可以使用牛顿迭代的方法来求解，即。 六、收敛性问题 牛顿法是一种迭代法，令，则牛顿迭代就是 而此时，因此如果f(x)在x*的某个邻域内f ’(x)≠0,且f ’(x)存在,则当时，牛顿迭代收敛，且至少有，记对于正实数，和常数c满足，则称该迭代是p阶收敛性，而牛顿迭代是至少2阶收敛，即常数，如果en约是0.01，则下一步误差en+1约是，收敛速度是很快的。  我们首先要使f(x)的分离区间[a,b]尽可能小，并要求f ’(x)和f ’(x)不变号，即要求f(x)保持严格单调，且凹凸性不变。以下四个图说明此问题： (1)、在[a,b]上均有，f ’(x)0, f ’’(x)0，f ’(x)0,意味着曲线严格单调增，f ’’(x) 0曲线上凹。  (2)、在[a,b]上均有f ’(x)0, f ’’(x)0这说明曲线y=f(x)是严格单调增，而向上凸的， (3)、在[a,b]上均有f ’(x)0, f ’’(x)0，此时曲线y=f(x)严格单调减，曲线向上凹， (4)、在[a,b]上均有f ’(x)0, f ’’(x)0，此时曲线y=f(x)严格单调减，曲线向上凸， 以上分析中可以得到选取初始值x0使其满足f ’(x) f ’’(x)0的x0，可以用作初始值，而实际上只要选取x0，使之得到的x1仍在[a,b]内的初始值内可以。2、设函数f(x)在[a,b]上满足： (1)、f(a) f(b)0； (2)、f ’(x)在[a,b]内不为零； (3)、f ’’(x)在[a,b]内不为零； (4)、选取x0∈ [a,b]，满足f ’(x) f ’’(x)0； 则牛顿迭代序列收敛到方程f(x)=0在[a,b]内的唯一的根x*。 证明：由条件(1)可知方程f(x)在[a,b]内至少有一个根，由条件(3)知f ’(x)在[a,b]内连续，再由条件(2)知f ’(x)在[a,b]内保持同号，因而f(x)在[a,b]内是严格单调和，因而方程f(x)=0的根在[a,b]内是唯一的。因而对以上四种情况，我们讨论一种情况，即f ’(x)0, f ’’(x)0，即f(x)严格单调增，且是向上凹的，因而，此时f(b)0。当xx*时，f(x)0。因为选取f(x0) f ’’(x)0，∴f(x0)0∴x0x* 下面用归纳法证明 每次迭代x* xn xn-1因， 由， ，曲线向上凹，任一点的曲线的切线总在曲线的上方。因而切线的下方，因而而。∴g(x)与x轴的交点xn在x*和 xn-1之间，x* xn xn-1，，是单调下降且有下界的数列，因而，在迭代格式中，令得：，，即。  作 业 P128 练习13.2 (A)1（1）（2），2； (B)1，2，3，4，5； P133 练习13.3 (A)1，2，3，4； (B)1，2，3，5，6； P146 习题13： 　　1（2），2（1）（3），3（2） x* x2 x1 x0 y=f(x) Y y=f(x) x3 x2 x1 x* Y X X x0 f( x0)0 f( x0)0 f( x0)0 y=f(x) x* x0 x1 x2 Y X f( x0)0 y=f(x) x* x1 x2 Y X x0 f( x0)0 y=f(x) x* x0 x1 x2 Y X f( x0)0 x0 y=f(x) x* Y X x1 x2 x3 x0 f( x0)0 y=f(x) x* x2 x1 Y X f( x0)0 y=f(x) x* x2 x1 x0 Y X