第2章 波动方程式と平面波解.PDFVIP

第 2 章 波動方程式と平面波解 光は電磁波として記述されるという考えは、電磁場のマックスウエル理論の完成により 確立された。光を電磁波として表現することで、光の様々な性質、例えば干渉や回折など の波動性、偏光を記述するベクトル波の性質、光の吸収や増幅、などが合理的に説明され る。他方、微弱な光で顕著に現れる粒子的な性質、例えば超高感度な光強度検出器で観測 される光強度の時間的揺らぎなどは電磁波としての記述では説明できない。光の量子理論 により始めて明らかにされるが、今日でも明らかにされない問題がある。 ここでは、ベクトル波としての光を導入し、光波として説明できる現象をいくつか紹介 する。説明内容は、波動の一般論と電磁波としての性質に分かれるが、波動一般論は他の 波動現象、例えば音波、海洋波、大気振動、プラズマ波動、地震波などの波動現象に共通 した認識を与えるので、光を通して波動を学ぶという考えを持っていただきたい。 2.1 マックスウエルの電磁場方程式系 電場や磁場がどのようにして発生されるかという議論は 19 世紀の科学の大きな関心事で あった。電場の源は電荷であり、磁場の源は電流であるということは実験的に確かめられ ていたが、変化する磁場が起電力つまり電場を生むことが実験的に示されてから、変化す る電場が磁場を生むというアイディアを提唱したのがマックスウエルであった。変化する 磁場を巻くように電場が発生し、この変化する電場を巻くように磁場が発生するという連 鎖により、電場と磁場が空間に広がっていくのである。それでは、そもそも変化する磁場 あるいは電場はどこで発生されるのであろうか。 電場E、電束密度D、磁場H、磁束密 度Bは次の連立方程式を満足している。この連立方程式を満たす解は無数にあり、具体的 な条件で場の量が決められる。 ∂D rotH +J マックスウエル・アンペールの式 (2.1) ∂t ∂B rotE− ファラディの電磁誘導 (2.2) ∂t divD ρ ガウスの法則 divB 0 (2.3) D E ε 物質の式 (2.4) B H μ 物質の式 (2.5) J E σ 物質の式 オームの法則 (2.6) この最初の2 式は積分形で表すと、その意味が明らかになる。 ∂ Hds DdS+ JdS アンペル・マックスウエルの式 ∫ ∂t ∫∫ ∫∫ S S ∂ Eds− BdS ファラディーの電磁誘導 ∫ ∫∫′ ∂t ′ S 13 アンペール・マックスウエルの式が意味するところは、電流あるいは、時間的に変化す に沿って磁場H を接線積分すると、その結果 る電場を取り囲むように閉曲線 を取り、 S S は で囲まれる面 を貫く全電束（密度）の時間的変化率と面