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感悟数学之美 感悟数学之美 朱江波 （东南大学数学系，南京 210096） 摘要：数学之美是抽象的，但是本文通过美丽的分形和正态分布两个具体的例子，向大家展 示具体的数学之美。本文所使用的数学工具并不“艰难”，因此还是比较方便理解的。这正 是数学的深奥与简单之处。 Abstract ：The beauty of mathematics is abstract, but the passage shows the beauty of mathematics to readers by two specific examples of the beautiful Fractal and Normal dis- tribution. The mathematical tools of this passage are not “difficult”, so it is easy to under- stand. This is the mathematics of the esoteric and simple. 关键词：分形几何、中心极限定理、正态分布 Keywords ：Fractal geometry、central limit theorem、Normal distribution 一、 引言 数学，尤其是高等数学，让许多人望而却步。里面的内容博大精深，尤其是 1900 年 Hilbert 提出著名的 23 个问题之后，能像他那样通晓数学各个领域的人已经几乎不存在了。 数学是那么高深，但同时数学也和我们紧密相连。 数学之美，有些是具体的，像一些美丽的图形、黄金分割等等，但更多的是抽象的，不 是通过视觉听觉就可以感受出来，而是一种用心去体会的美。就像解析函数，学数学的人都 认为这种函数美，因为它处处可导，有许多非常好的性质，所以就美。所以，数学之美不仅 仅在于她的形式，更多的是她的内涵。 本文在不回避“深奥”的数学，但回避“艰难”的数学的宗旨下，通过两个具体的例子 向大家展示数学之美。 二、 Cantor 三分集与分形几何 首先，我们还是先看一个比较直观的例子。 1883 年，德国数学家Cantor 构造了一个所谓“数学怪物”——三分集。它是人类理性 思维的产物，并非某个现实原型的摹写；尤其值得关注的是，用传统的几何学术语言很难对 它进行描述。它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是一个简单方程的解集。可以说， 它是一个新的几何对象。 ☆Cantor 三分集构造 将闭区间,0, 1-三等分，去掉中间的开区间(1 , 2 ) ，剩下两个闭区间,0, 1- ，,2 , 1- 。又把这 3 3 3 3 两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即(1 , 2) ，(7 , 8) 。一般地，当进行到第次时， 9 9 9 9 一共去掉2n;1个开区间，剩下2n个长度是3;n 的互相隔离的闭区间，而在第 + 1次时，再将 这2n个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从,0, 1-去掉了可数 1 朱江波 感悟数学之美 注1 个互不相交（而且没有公共端点）的开区间，而且剩下的必是一个闭集 （它至少包含各邻 接区间的端点及其聚点），称它为Cantor 三分集，记为 。 ☆Koch “雪花”曲线 或许这个例子还不够直观，那么由瑞典人Koch 于1904 年提出的著名的“雪花”曲线， 其做法与Cantor 三分集有异曲同工之妙，但从视觉来看或许更让人看出