11级计算第06次作业.docVIP

数学学院2013～20学年第1、进一步理解极限的概念，了解常微分方程理论的应用； 2、通过一个简单的差分方程的迭代结果了解混沌现象。 实验 环境 matlab ,windows 实 验 内 容 种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的是当前种群的数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少。而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能是达到某一固定的数量值记为，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量x的比记为：r(x)=r-sx，r，s0，其中r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率。记当前（即t=0时）种群数量为，时刻t种群数量为x(t)。若利用统计数据可知，那么未来时间里种群数量如何呢？ 实验要求: （1）设x(t)是连续、可微函数，请给出未来时间里种群的数量满足的数学模型； （2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖,所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况，请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型； (3）设t=n（n为整数），,先对上述离散模型进行变形，然后在分别取0.1,0.1000001,0利用计算机进行迭代60次。要求在计算机上输出结果和作图，并观察结果和得出结论。 实验 过程 实验 结果 分析 问题分析与模型建立 1、由于r(x)为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以t到t+Δt时间内种群数量的增量为： x(t+Δt)-x(t)=r(x)x(t)Δt (1) 又由于，而当是增长率为零，即，所以。 则代入（1）得： (2) 由此得到任意时刻种群物种数量所满足的数学模型为： (3) 2. 由于利用种群繁殖周期作为时段来研究种群得增长情况，则令，视为整数及 代入（1）得： (4) 所以任意时刻种群物种数量所满足的离散数学模型为 (5) 通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻种群的数量。 3.该过程没有涉及到建模的过程，只是要求对上述离散模型进行变形，在通过计算机输出离散模型中的迭代结果和画图，并通过观察结果来得出相应的结论即可。 步骤 （6） Matlab源程序为：dsolve(Dx=r*(1-x/xm)*x,x(0)=x0) 结果为：ans =xm/(1+exp(-r*t)*(xm-x0)/x0)，就是（6）式。 根据方程（2），只要给出初始值就可以很容易进行递推而得到任意时刻种群的数量。 由假设知，代入方程（5）得 （7） 当分别取0.1，0.1000001，0通过下面的程序可以得出迭代结果以及不同初值的各自的图形,运行下面的程序时分别是不同的颜色的图形。程序运行如下： x(1)=0.1时 x(1)=0.1; for i=1:60 disp(x(i)); x(i+1)=4*x(i)*(1-x(i));end i=[1:1:60];plot(x(i)),xlabel(x=0.1); x(1)=0.1000001时 y(1)=0.1000001; for j=1:60 disp(y(j)); y(j+1)=4*y(j)*(1-y(j));end j=[1:1:60];plot(y(j)),xlabel(x=0.1000001); x(1)=0 z(1)=0 for k=1:60 disp(z(k)); z(k+1)=4*z(k)*(1-z(k));end k=[1:1:60];plot(z(k)),xlabel(x=0; 运行结果如下： 以下实验的迭代次数为1到60 x(1)=0.1时，迭代图形 x(1)=0.1000001时，迭代图形 x(1)=0，迭代图形 运行程序： n=1:60;i=n;j=n;k=n;plot(i,x(i),r,j,y(j),g,k,z(k),:) 图4 上述的迭代结果如下： 0.1 0.1000001 00.36