自动控制典型例题分析3.docVIP

典型例题分析 例3.1 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试确定系统的稳定性或求系统稳时K的取值范围。 解 （1）系统(a)的K的稳定域 解法一（应用赫尔维茨判据） 由1+Ga (s)=0,可得系统(a)的特征方程为 应用赫尔维茨判据则可求得系统稳定的充要条件为 故K的稳定域为K＞20／3。 解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯阵列如下： 要使系统稳定，其第一列的元素必须全为正。同样也可以求得K的稳定域为K＞20／3。 (2)系统(b)的稳定性 解法一（应用赫尔维茨判据） 由1+Ga (s)=0,可得系统(b)的特征方程为 由于特征方程的系数全为正的，而 故可判断该闭环系统是不稳定的。 解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯表如下： 可见其第一列的元素不变号，故系统没有极点在右半开平面上。而由辅助方程 可解得系统有一对纯虚根p1，2=±j1.87。于是应用长除法由系统的特征方程 则可求得另一个系统极点为p3=-3.5。因此可判断该系统为临界稳定的。 讨论 由例题结果可见：（1）系统的开环稳定性和闭环稳定性是两回事，它们之间没有必然的联系。开环稳定的（如系统（b））其闭环未必稳定；开环不稳定的（如系统（a））其闭环不见得不稳定。所谓系统稳定性，指的是闭环的稳定性。从工程上着眼，为使系统易于控制和调试，通常希望系统的开环应是稳定的。（2）从判断系统的稳定性以及确定稳定裕度和参数的稳定域而言，赫尔维茨判据和劳斯判据是等效的。然而劳斯判据还可用来确定极点在左右两半平面上的分布情况，而且运算较为简便，故在实际中得到了较为广泛的应用。 例3.2 设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定参数K和T稳定域。 解 由1+G(s)=0可得系统的特征方程为 于是可构造劳斯如下： 根据劳斯判据，要使系统稳定其劳斯表的第一列元素必须全为正的，即T＞0, K＞0,T+2-K(T-2)＞0 故系统稳定时参数K和T的取值范围为 相应的K和T的稳定域，如图3.2所示。 例3.3 控制系统的结构图，如图A3.2所示。若系统以频率w=2rad/s持续振荡，试确定相应的参数K和 的值。 解 由结构图可得系统的特征方程为 于是可构造劳斯表如下： 根据题意，闭环系统存在一对共轭纯虚根p1，2=±j2。这意味着劳斯表的 行全为零元素，即。由辅助方程解得一队共轭纯虚根。 联立求解下列方程组 则可求得系统产生w=2rad/s的持续振荡时，参数K和的取值为 例3.4 某液位控制系统的结构图，如图3.4(a)所示。图中hr为给定液面高度，h为实际液位，q1为进水流量，q2为用水流量。试判断系统的稳定性，并讨论使系统稳定的可能措施。 解 由结构图可得系统的特征方程为 式中K= KpKmK1K2为系统的开环增益。 分析上式可以看到：特征方程s1项，不满足各项系数均大于零的必要条件，故系统不稳定，而且无论如何调整系统参数Tm和K的大小均无法使系统稳定。这种并非参数设置不当而是由于系统结构所造成的不稳定系统，叫做结构性不稳定系统。要使这类系统稳定，必须改变原系统的结构。由3.7节可知，改善系统特性使闭环稳定有两种可行方案： 引入比例微分（PD）控制 在原系统的受控对象前引入PD控制器，其结构图如图3.4(b)所示。由图可得，引入PD控制后系统的特征方程变成为 它已经不缺项，根据劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为。可见只要适当调整参数使，便可确保闭环系统为稳定的。 引入局部负反馈回路 在受控系统或其部分环节的两端用局部负反馈回路包围它，以改善系统的特性使之稳定。现以图 A3.3(a)虚线所示的局部负反馈回路为例，说明如下。当伺服电动机两端用比例反馈回路包围后，其等效传递函数为 于是由1+Gk(s)=0可得结构改变后系统的特征方程为 它已经不缺项，应用劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为K3＞TmKpK1K2。因此只要调整参数使条件成立，则可确保该闭环系统稳定。 例3.5 假设温度计放置在oC的恒温箱内，其传递函数为G(s)=1/(Ts+1)。现用温度计测量盛在容器内的水温，需要1分钟才能指示出实际水温的98%。试问：（1）该温度计的时间常数 T以及指示出实际水温的10%变化至90%所需的时间各为多少？（2）如果给容器加热，使水温以10oC/min的速度匀速上升，温度计的稳态指示误差有多大？ 解 （1） 温度计的时间常数和系统暂态响应的上升时间为 或 当t=60s时y(t)=0.98。将此值代入上式，则可求得温度计的时间常