第四章第节分段多项式插值.pptVIP

§4 分段多项式插值 4.1 高次插值的龙格现象 4.2 分段线性插值 4.3 分段三次Hermite 插值 4.4 样条函数及三次样条插值 * * 在构造插值多项式时，一般总认为插值多项式的次数越高越好，然而事实并非如此。请看下例。 给出等距节点 例4.4.1 设函数 试计算函数在这些节点处的函数并做Lagrange多项式插值Ln(x). 然后，在点 处， 近似估计截断误差。 解 我们对不同次数的Lagrange多项式插值，得到不同的近似截断误差E(Ln),所得计算结果见表4.4.1 -0.960 000 26.962 59 18 0.959 999 7.195 719 14 0.919 999 1.801 089 10 -0.880 000 0.616 666 1 6 0.400 000 0.646 153 9 2 达到最大值的点x E(Ln) n 表4.4.1 分别计算被插值函数和插值函数的值，并按 图 4.4.1 通过表4.4.1和图4.4.1可清楚地看到，当Lagrange多项式插值的次数增高时，误差不仅没有减少反而越来越大。 事实上，对上述函数的多项式插值，当插值节点无限加密时，在两端附近的函数值得波动会越来越大，当然不能保证在n趋于无穷时，插值函数一致逼近y=(1+25x2)-1。我们称这种现象为龙格(Runge)现象。 由于高次多项式插值很可能产生Runge现象，在多项式插值中一般不宜选取高次多项式。 设已知函数f (x)在区间［a,b］上N+1个互不相同的点x0,x1,…,xN处的函数值y0,y1,…,yN,过点(x0,y0) , (x1,y1) , … , (xN,yN),可作折线函数 称之为函数f(x)的分段线性插值(见图4.4.2). 获取高精度插值的手段之一是利用分段的低次多项式插值。下面介绍分段线插值。 图 4.4.2 分段线性插值函数(4.4.1)也可以写成基函数的形式： 图 4.4.3 其中基函数li(x)为非负的且局部非零(称为局部支撑性)的分段线性函数(参见图4.4.3)： 事实上，我们有如下定理： 定理4.4.1 设函数f(x)∈C［a，b］,则有如下收敛性 由图4.4.2可以看出，当节点加密时，分段线性差值函数与被插函数的函数值有很好的近似性 。 证 由于f(x)∈C(a,b),f(x)在[a,b]上一致连续。故任取ε0,有δ0，当x∈[a,b]，且|x-x’|δ时，|f(x)-f(x’)|ε。则当hδ时，任取点x∈[a,b]，不妨设x∈[xk-1,xk]，根据li(x)的定义式(4.4.3), 从而， 证毕。 如果f(x)∈C2［a,b］,对任何x∈［xj-1,xj］(j=1,2,…,N),由一次Lageange插值多项式的余项估计得 故有更好的逼近结果。 定理4.4.2 设函数f(x)∈C2[a,b],则 其中 上面定理说明函数的分段线性插值具有很好的收敛性。但是，分段线性函数在节点处导数一般不存在，因此光滑性较差.若要克服高次多项式插值有可能产生Runge现象的缺陷，又要使函数插值有一定的光滑性，则需对分段线性插值函数进行进一步的改进。 下面构造具有一阶连续导数的分段三次Hermite插值函数。 设已知函数f(x)在区间[a,b]上N+1个互不相同的点x0,x1,…,xN处的函数值y0,y1,…,yN以及导数值y0’, y1’,…,yN’,求分段三次多项式IN(x)使得满足如下条件： (2) IN(x)在每个小区间[xj-1,xj](j=1,2,…,N)上是次数不超过三的多项式 由于在每个小区间[xj-1,xj]上，IN(x)是次数不超过三的多项式且满足插值条件(1)，故根据两点三次Hermite插值多项式(4.3.4)，知IN(x)在区间[xj-1,xj]上可表示为 同样，若采用基函数来表示，即 则基函数为 不难验证，局部非零的基函数式(4.4.6)和式(4.4.7)满足 因此,对于分段三次Hermite插值多项式有类似定理4.4.1的一致收敛性结果，而当被插函数的光滑性更好时，插值函数的导数也有相应的逼近性质，参见下面定理。 定理4.4.3 设函数f(x)∈C4[a,b]，则分段三次Hermite插值函数(4.4.5)有如下误差估计： 上述定理的证明见注4.2(P151)。由于IN(x)在节点处的高阶导数可能不存在，在式(4.4.10)和式(4.4.11)中的导数应理解为函数左导数和