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第六章 抽样分布及总体平均数的推断 扬州大学教育科学学院 郭兆明 Guozhaom@ 第六章 抽样分布及总体平均数的推断 第一节 抽样分布 第二节 总体平均数的估计 第三节 假设检验的基本原理 第四节 总体平均数的显著性检验 抽样方法 简单随机抽样：随机数表 分层随机抽样 等距抽样 整群抽样 第一节 抽样分布 抽样分布的概念 平均数抽样分布的几个定理 样本平均数与总体平均数离差统计量的分布形态 抽样分布 抽样分布：某一种统计量的概率分布 例1，将某市600名学生数学竞赛的分数作为一个总体。如果对抽到的40个考分，计算其平均数和标准差后还还回总体中去。再随机抽40个考分，计算其平均数和标准差，若将这一切可能个样本的平均数及标准差分别进行频数分布，就形成了一个实验性的平均数抽样分布及标准差抽样分布。 X1，X2，X3，… Xn … δ 1，δ2，δ3， …δn… 例2，从某市高考分数中，随机抽取100名学生的数学和物理分数，计算这两门学科的相关系数之后，将数据还回总体中去，再随机抽取100名学生的数学和物理分数计算其相关系数，这样反复抽下去，所获得的n＝100的一切可能样本相关系数的频数分布，就形成一个实验性的相关系数的抽样分布。 γ 1，γ2，γ3，…γn… 平均数抽样分布的几个定理 （1）从正态总体中，随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 （2）从总体中随机抽取容量为n的一切可能样本的平均数的平均数等于总体平均数。 （3）容量为n的平均数在抽样分布上的标准差，等于总体标准差除以n的平方根（平均数的标准误） （4）虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。 标准误 标准误：某种统计量在抽样分布上的标准差 注： （1）平均数抽样分布的标准差称为平均数的标准误（Std.errror of Mean）； （2）标准差抽样分布的标准差称为标准差的标准误； （3）相关系数抽样分布的标准差称为相关系数的标准误。 抽样误差 用标准误来表示抽样误差: 标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。 样本平均数与总体平均数离差统计量的分布形态 当总体标准差已知时，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈标准正态分布。 当总体标准差未知时，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。 t分布与正态分布（不同点） 相同点：曲线与横轴所围成的面积为1. 不同点：（1）一簇分布；（2）t分布的峰狭窄尖峭；（3）自由度增大时，t分布逐渐接近正态分布。 第二节 总体平均数的估计 点估计 区间估计 点估计 用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值叫总体参数的点估计。 区间估计 以样本统计量的分布（概率分布）为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。 总体参数估计的原理（平均数） （1）当总体方差已知时 （2）当总体方差未知时 δ已知条件下总体平均数的区间估计 当总体已知时，一切可能样本平均数的标准分呈标准正态分布。若以样本平均数对总体平均数的估计要求达到95％可靠度，则令Z在－1.96到＋1.96之间变动，其间的面积为0.95,也就是说，Z＝－1.96到Z＝＋1.96之间的概率为0.95，即： 这就意味着总体平均数在 和 之间出现的概率为0.95，也就是说，总体平均数在此范围内的可能性有95％，因此，此区间称为平均数相应于0.95概率的置信区间。 离差统计量呈正态分布的条件 （1）当总体δ为已知，总体呈正态分布，样本容量n无论多大； （2）当总体δ为已知，总体不呈正态分布，但样本容量较大（n＞30）时。 例题 某小学10岁全体女童身高历年来标准差为6.25cm，现从该校随机抽取27名10岁女童，测得平均身高为134.2cm，试估计该校10岁全体女童平均身高的95％置信区间。 【注】统计学家告诉我们，体重、身高、智力、课程分数等数据总体一般呈正态或接近正态分布。目前在实际工作中，对于样本所来自的总体是否呈正态分布，除特殊情况外，一般不另作检验。 根据公式： δ未知条件下总体平均数的区间估计 （1）小样本的情况 （2）大样本的情况 离差统计量均呈t分布的条件 （1）当δ未知，总体呈正态分布，样本容量无论多大； （2）当δ未知，总体虽不呈正态分布，但样本容量较大（n＞30）时； 样本平均数与总体平均数的离差统计量均呈t分布。总体平均数的置信区间可按t分布，用δ的估计值计算。