1_10 闭区间上连续函数的性质.pptVIP

* §1.10 闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 二、介值定理 Page * 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , Page * 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, Page * 推论. 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. Page * 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 二、介值定理 Page * 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 Page * 上连续 , 且恒为正 , 例2. 设 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: Page * 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . Page * 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 Page * 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: Page * 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 2. 设 一点 Page * 3. 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . * 若不讲一致连续 , 则运行时点击“小结“按钮跳过它 * 若不讲一致连续 , 则运行时点击“小结“按钮跳过它