Cramer-Von Mises检验统计量极限分布鞍点逼近算法.pdfVIP

Cramer −Von Mises 检验统计量极限分布的鞍点逼近 算法 庄新瑞，李波 华中师范大学数学与统计学学院，武汉（430079 ） E-mail ：zxr1613@163.com 摘 要：本文讨论了Cramer −Von Mises 检验统计量的极限分布问题.由于其极限分布具有 较复杂的形式不便应用,且在实际应用中往往只涉及其尾概率的计算, 因此我们给出了其尾概 率的三种鞍点逼近公式并得到了尾概率的数值计算结果,数值结果表明所提方法精度较高确 实可行. 关键词: Cramer −Von Mises 检验统计量，极限分布，尾概率，鞍点逼近，Lugannai −Rice 公式 中图分类号: O212 1. 引言 设简单随机样本X ,K ,X 来自具有分布函数为F (x ) 的总体. F (x ) 是已知的处处连 1 n 0 1 续的一维分布函数，对于假设检验问题：H :F (x ) F (x ) ，H :F (x ) ≠F (x ) Cramer 0 0 1 1 0 1 和 Von Mises 先后独立地提出了检验统计量（ F (x ) 为样本经验分布函数）： n ∞ 2 2 2 2 W n [ F ( x) =−F ( x)] dF ( x) .当W 取值较大时否定零假设H ，当W 取值较小时接受 n ∫ n 1 1 n 0 n −∞ 零假设H 0 ，此即Cramer −Von Mises 拟合优度检验。Cmnphob 1936 年给出了在零假设 1 下当n →∞时W2 特征函数的极限ϕ(t) [ 2it / sin 2it ]2 .文献[1]中Tolmtz 利用Brown n 桥泛函和抛物柱面函数反演ϕ(t) 给出了W2 的精确极限分布. 文献[2] 中Anderson 和 n Darling 利用标准Brown 运动和Bessel 函数反演ϕ(t) 也给出了W2 的精确极限分布.他们 n 利用不同的方法给出了极限分布的不同形式,但其形式都过于复杂不便实际计算.本文试图利 用鞍点逼近的方法给出W2 极限分布的逼近及相关计算,数值计算表明此方法精度较高确实 n 可行.鞍点逼近已被实际验证为一种确实可靠的逼近计算理论，其具体内容可参见文献 [3][4][5][6]等,本文直接利用其结果不给出相关的理论推导. W2 2. n 的极限分布分步及其特征函数 引理1[1]:( Tolmtz ) W2 的极限分布及其密度函数分别为: n