6-4单调性与极值(13级).pdfVIP

第四节 函数单调性与极值 一.函数单调性的判别法 二.函数的极值 一、单调性的判别法 y y A y  f ( x) B y  f ( x) A B o a b x o a b x   f ( x)  0 f ( x)  0 定理 设函数y f (x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可 导. （1）如果在(a, b)内f (x )  0，那末函数y f (x ) 在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内f (x )  0， 那末函数y f (x ) 在[a, b]上单调减少. 证 x , x (a,b),且x  x , 应用拉格朗日定理,得 1 2 1 2 f (x )  f (x ) f ()(x  x ) (x   x ) 2 1 2 1 1 2  x  x  0, 2 1 若在  则  (a,b)内，f ( x)  0, f ()  0,  f ( x )  f ( x ).  y  f ( x)在[a,b]上单调增加 2 1 .  则 f ()  0, 若在(a,b)内，f ( x)  0,  f ( x )  f ( x ).  y  f ( x)在[a,b]上单调减少. 2 1 例1 讨论函数y  e x  x 1的单调性. 解 y  ex  1.又D : (,). 在(,0)内, y  0, 函数单调减少； 在(0,)  内, y  0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 用方程f (x ) 0的根及f (x ) 不存在的点 方法: 来划分函数f (x ) 的定义区间,然后判断区间内导 数的符号. 例2 确定函数f ( x)  2 x 3  9 x 2 12 x  3的单调区间 . 解 D : (,).  2 f ( x)  6x 18x 12  6( x 1)( x