极坐标下再谈圆锥曲线焦点弦.pdfVIP

· 专论荟萃 · 数学通讯 ——2015年第 7、8期 (上半月) 95 极坐标下再谈圆锥曲线焦点弦 李应钊 朱兴早 (云南省建水一 中，654300) 文 [1 方志平老师给 出圆锥 曲线 中焦点分焦 4 ·(+ 1 为其通径长，又可改写为IABl一 鱼 点弦所成 比时焦点弦长的统一计算公式． --72)． ’ 已知 AB是过圆锥 曲线焦点F的弦，且 一 推论 1 圆锥曲线的所有焦点弦中通径最短． AF--~(Ao)，则llABI一通 ．(+÷+2)． 证明 由上述性质和均值不等式可得 ， 笔者在进行该部分 内容探究时发现 ，在极坐 lABl一 ．(+÷^+2) 标下讨论该公式尤为简单，现将其组织成文，供大 家参考． ． ≥ 4 ·(2 1-- 2)一 通径长 ． 引理 设AB是过圆锥曲线 (同支)焦点F的 · 推论 2 设 F为圆锥 曲线的焦点 ，AB为过焦 一 点F且倾斜角为 的弦，若 ；==P-~(Ao)，则 弦，则 +南 ：==吾一通 ，其中为焦 点到准线的距离． 1-1-／ecos~k·、(--詈)N、- 证明 以椭 圆的左焦点 (双曲线 的右焦点或 开 1：3向右的抛物线的焦点)为极点 ，Fz为极轴建 1一ecos]k·(--詈)+ 立极坐标系 ，此时圆锥曲线有统一的极坐标方程 p 证明 我们取统一性质的证明中所用到的坐 ：：：r (其 中 为焦点到准线的距离)．不妨 标系，则有 。 设 轴正半轴到射线FA 的角为 ，则 z轴正半轴 IAFl一 『二 ， 到射 线 FB 的角 为 兀十 ．所 以 IAFI— i ． BFJ—F 一 ， 、 r ；IBFI—rFep ，注意到2ep为圆 一 ， 此 - o； 锥曲线的通径长，进而， +亩 当焦点弦AB经过椭圆下焦点 、双 曲线上焦点 二曼 翌一- ±! 翌一 ：== 或开口向上的抛物线焦点时，可以看成上面极坐 P 。 ep 印 通 径长 ’ 同理 ，在其他建系条件下该过程也可 以进行 ， 标系经过逆时针旋转号个单位得到，即统一方程 故结论成立． · 一 ep ， 一 一 性质 已知AB是过圆锥曲线焦点F 的弦，