第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版).pptVIP

将上式代入 如果薄板具有圆孔，则在外边界及孔边各有两个边界条件。利用这四个边界条件，可得出的一组Cl至C4四个齐次线性方程。命这一方程组的系数行列式等于零，可以得出计算频率的方程，从而求得各阶的自然频率。 即得振形函数如下： 由板边的两个边界条件，可以得出 Cl 及 C3 的一组两个齐次线性方程，命方程组的系数行列式等于零，也就得出计算自然频率的方程。 如果薄板无孔，则在薄板的中心(x＝γr＝0)，Nn(x)及Kn(x)成为无限大。为了使W不致成为无限大，须在式中取C2＝0，C4＝0。于是式简化为 参见习题15－3。 第五节 用差分法求自然频率 在前两节中提到的那几种简单情况下，才可能求得振形微分方程的函数形式的非零解，从而求得薄板自然频率的精确值。在其他的情况下，振形微分方程可以用差分法进行处理，从而求自然频率的近似值。不须采用很密的网格，就可以求得满足工程上精度要求的自然频率，特别是最低的自然频率。 按照振形微分方程，在任一典型结点0 利用差分公式，可得上列方程的差分形式 其中h是网格间距，引用无因次的常数 应用边界条件以后，这些齐次线性方程中的未知W值的数目将等于方程的数目。薄板可能发生自由振动，必须这些W值具非零解，因而上述齐次线性方程的系数行列式必须等于零。这就得出一个以λ为未知值的方程。由这个方程求出λ，即可求得自然频率。 则上列差分方程成为 例如，对于图所示的简支边正方形薄板，首先用2 × 2的网格，即h=a／2，为结点a立出差分方程，用简支边的边界条件，得 a a 命系数的行列式等于零，也就是命唯一的系数等于零，即 16—λ=0 得到 λ＝16 。 于是得 其次，用3×3的网格，即h=a／3。假定振形为两向对称，因而四个内结点处的挠度相同，均为w a 。为任一内结点列出差分方程，并应用简支边的边界条件，得 w a的系数等于零，得λ=4 。 于是得 不假定振形为对称，则将有四个独立的未知W值，得出λ的四次方程，但这个方程的最小值仍然是λ＝4，得出的最低自然频率与前面相同。 a a a a a 再其次，用4×4的网络，即h = a／4。假定振形为四向对称，则仅有三个独立的未知W值。为a、b、c三结点列出差分方程，并应用简支边的边界条件，简化以后，得 命这一方程组的系数行列式等于零，得展开以后，得λ的三次方程，它的最小实根是1．373。于是得最低自然频率 a a c b b b b c c c 中命m＝n＝1，b＝a，得简支边正方形薄板的最低自然频率的精确值 可见前面三种情况给出的最低自然频率的系数分别为16、18、18.75，比精确值小19％、9％及5％ 。 在最低自然频率公式 所示频率相应的振形，将相应的λ代入中的差分方程的任何两个方程，得到与式所示频率相应的振形，可由如下的比值反映 为了明确与式 a a c b b b b c c c 第六节 用能量法求自然频率 当薄板以某一频率及振形作自由振动时，它的瞬时挠度可以表示成为 如果以薄板经过平衡位置的瞬时作为初瞬时(t＝0)，则有 由此可见A＝0, 将常数B归入W(x，y)，则w简化为 速度的表达式则成为 为了计算能量时比较简便，假定薄板并不受有静载荷，于是静挠度等于零，而薄板的平衡位置就相应于无挠度时的平面状态。这样，由式 从而 这时，薄板的动能为零而形变势能达到最大值。 可见，当薄板距平衡位置最远时，即w最大或最小时，我们有 当薄板经过平衡位置时，我们有 按照变分法一节，形变势能是 将w 换为W，则得到最大形变势能。如果一个矩形薄板没有自由边，而只有固支边和简支边，则有 速度达到最大值 这时，薄板的形变势能为零，而动能达到最大值 根据能量守恒定理，薄板在距平衡位置最远时的形变势能应等于它在平衡位置时的动能 于是，如果设定薄板的振形函数W，使其满足边界条件，并且尽可能地符合频率最低的振形，根据这个W求出Umax，及Kmax。命Umax＝Kmax,即可求得最低自然频率。 Umax＝Kmax 由于设定的振形函数W未必能相应于最低频率的振形，所以这样求得的最低频率可能不够精确。为了求得较精确的最低自振频率，瑞次建议把振形函数取为 其中Wk是满足边界条件的设定函数，Ck是互不依赖的待定系数。然后选择系数Ck，使得Umax－Kmax为最小，即 这是Ck的一组k个齐次线性方程。为了具有非零解，必须Ck具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就导出求解自然频率的方程。 第十五章 薄板的振动问