第十三章傅立叶级数.doc

第十三章 傅里叶级数 第一节 傅立叶级数 傅立叶级数最初应用在天文学中，这是由于太阳系的行星运动是周期性，欧拉于1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果，到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立叶级数收敛的充分条件。 一、三角级数及三角函数系的正交性 正弦函数是一种常见的而简单的函数，例如描述简谐振动的函数 y=Asin(t+)就是一个以为周期的正弦函数.其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，为角频率，为初相. 在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数，它们反映了较为复杂的周期运动.例如电子技术中常用的周期为的矩形波. 图13-1 具体的说将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数组成的级数来表示，记为 （1） 其中都是常数. 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明显的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同运动的叠加，为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形得 并令则（1）式右端的级数就可以写成 （2） 一般的，型如（2）的式的级数叫三角级数，其中都是常数. 如同讨论幂级数是一样，我们必须讨论三角级数（2）的收敛问题，以及给定周期为的周期函数如何把它展开成三角级数（2）为此，我们首先介绍三角函数系的正交性. 所谓三角函数系 （3） 在区间上正交，就是指在三角函数系（3）中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即 以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下 利用三角学中积化合差的公式 当kn时，有 其余不证. 在三角函数系（3）中，两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即 二、 以为周期的函数的傅里叶级数 若以为周期的函数可展为三角函数，即 ， （4） 我们自然要问： 系数与函数之间存在怎样的关系？换句话说，如何利用把表达出来？为此，我们进一步假设级数(4)可以逐项积分. 先求，对(4)式从－到逐项积分有 根据三角函数（3）的正交性，等式右除第一项，其余都为零，所以 于是得 其次求用乘（4）式两端，再从到逐项积分，我们得到 根据三角函数系（3）的正交性等式右端除的一项处，其余各项均为零，所以 于是得 类似地，用乘(4)式的两端，再从－到逐项积分，可得 由于当时，的表达式正好为，因此，已得结果可以合并写成 （5） 如果公式(5)中的积分都存在，这时它们的系数叫做函数的傅立叶系数，将这些系数代入(4)式右端，所得的三角级数 叫做函数的傅立叶级数,记作 一个定义在上周期为的函数，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出的傅立叶级数(6)，但(6)不一定收敛，即使它收敛，其和函数也不一定是，这就产生了一个问题： 需满足怎样的条件，它的傅立叶级数(6)收敛，且收敛于？换句话说，满足什么条件才能展开成傅立叶级数(6)？下面我们叙述一个收敛定理（不加证明），它给出了关于上述问题的一个重要结论. 收敛定理 下面的定理称为傅里叶级数收敛定理. 定理13-1 若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点的傅里叶级数（6）收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即 ， 其中为的傅里叶系数． 定义13-1 如果，则称在上光滑．若 存在； ，存在， 且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称在上按段光滑． 从几何图形上讲，按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点．（如图13-2所示） 图13-2 收敛定理告诉我们：只要函数在上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值，可见，函数展开成傅立叶级数的条件比展开成幂级数的条件要低得多. 定义13-2 设在上有定义，函数 称为的周期延拓． 例1设是以为周期的周期函数，它在上的表达式为 将展开成傅立叶级数. 解 函数的图形如图13-3： 图13-3 函数仅在处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理，的傅立叶级数收敛，并且当时，级数收敛于 当时，级