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3 一些與常態分配有關的機率分配 這個講次介紹以下的統計分配: (1) 常態分配 (Normal distribution), (2) 卡方分配 (Chi-Squared distribution), (3) Student t distribution, (4) F distribution, 以及 (5) Lognormal distribution。 最後, 我會教你如何在 STATA 進行併檔 (merge) 的工 作。 如果對這些分配有基本的瞭解以後, 可以幫助我們更有效的學習抽樣分配與如何 進行假說檢定的分析。 2007.08.28 (first version); 2007.10.12 (this version) 3.1 常態分配 假設隨機變數 服從一個平均數為 μ 而變異數為 σ2 的常態分配 (亦即 x ∼ N (μ, σ2 )), x 則其機率密度函數 (pdf) 為: 1 −(x − μ)2 √ f (x ) = σ 2π exp ( 2σ2 ) (3.1) 而其累積機率密度函數 (cdf) 則為: F (x ) = x f (x ) (3.2) −∞ 至於所謂的 「標準化常態分配」 (standard normal distribution) 則是一個平均數為 0, 標準差為 1 的 殊常態分配。 換言之, 令 x − μ z = (3.3) σ 則新的隨機變數 z 就成為標準常態分配。 許多 習慣以 φ (z ) 與 Φ (z ) 分別代表標準常態分配的 pdf 與 cdf。 換言之, 在常態 分配的前提下, 如果你對機率 Pr (c ≤ x ≤ c ) 有興趣, 可以利用以下的方式去查表: 1 2 c1 − μ x − μ c2 − μ Pr (c ≤ x ≤ c ) = Pr ( ≤ ≤ ) = Pr (d ≤ z ≤ d ) (3.4) 1 2 1 2 σ σ σ 14 3.2 卡方分配 15 而具體的查表方式則為 Φ (d ) − Φ (d )。 2 1 至於以下的第 (3.5) 式是一個你很熟悉的公式, 它告訴我們常態分配在 ±1.96 個標 準差內的機率為 95%。1 Pr (−1.96σ ≤ x ≤ 1.96σ) = Φ (1.96) − Φ (−1.96) = 0.95 (3.5) 3.1.1 STATA指令: normal 你可以利用 MATA 去計算 Φ (z ) (以後會教你其他的方式)。 . clear . mata (進入 MATA) : x1 = normal(0) (計算 Φ (0) = 0.5) : x