棱柱典例讲解.docVIP

备课资料/多面体 备课资料/多面体 棱柱典例讲解 1．为加深对平行六面体的认识可选配这样例题． 例1．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′所有对角线都相等． 求证：平行六面体ABCD—A′B′C′D′是长方体． 分析：欲证平行六面体是长方体首先要证明它是直平行六面体，然后再证明其底面是矩形．要证明直平行六面体只要证明侧棱与底面垂直，要用到直线与平面垂直的判定定理． 例2．判断正误： （1）直平行六面体就是长方体 （ ） （2）平行六面体的四条对角线相交于一点，具被这点所平分． （ ） （3）有两个相邻侧面是全等矩形的平行六面体是正四棱柱． （ ） （4）有一个对角面垂直于底面的平行六面体是直平行六面体． （ ） （5）底面是正方形，有一个对角面是矩形的平行六面体是长方体． （ ） 分析：直平行六面体的底面可能是菱形，说明（1）不正确；平行六面体的对角线确实相交于一点并被这点平分，用“同一法”可以证明，故（2）正确；从相邻侧面是全等矩形可推出，侧棱垂直于底面，故能推出平行六面体是直四棱柱．当然也能推出底面四边形的边长相等，但由于相邻侧面的夹角未必等于90°，所以不能保证底面四边形的角是直角，所以（3）不正确；有一个对角面与底面垂直，并不意味这个对角面是矩形，故不能保证侧棱垂直于底面．所以（4）也不正确；底面是正方形，有一个对角面是矩形．不能保证对角面与底面垂直，也就不保证其为直棱柱，所以（5）也不正确． 选配例题的目的：平行六面体，特别是它的特殊情况—长方体和正方体，在立体几何知识中占有重要的地位，其原因为（1）平行六面体是人们经常接触的几何体，直观图立体感强，便于研究；（2）从平行六面体易于得到三棱柱、三棱锥、四棱锥等几何体，实际上许多解平行六面体问题都可化成棱柱、棱锥问题，甚至本身就是棱柱、棱锥问题．在解决棱柱、棱锥问题时也可转化入平行六面体解决．（3）长方体、正方体和圆柱、圆锥、球等有密切的联系．熟悉长方体，可以为研究长方体和这些旋转体的关系奠定良好基础． 可配备这样的练习： （1）一个直平行六面体的底面是菱形．过下底面的一条边和上底面内与它的所对的一条边作一截面，已知这个截面与底面所成的二面角为．截面面积为Q．求此平行六面体的侧面积．（答案：S则=4Qsin） （2）三棱锥S—ABC中，SA=BC=，SB=AC=，SC=AB=． 求三棱锥的体积以及SC与AB间的距离．（答案：V=2．d=1） 2．在多面体中要注意截面问题，可选配这样例题： 例3．正棱锥的侧面积为18cm2，高为3cm，被一个过底面中心而平行于一个侧面的平面所截，求这个截面的面积和它与底面所成的角． 分析：关键是画出截面DEF， 由＝ S△DEF＝． 再证明∠VGO为所求二面角的平面角， 设底面边长为a，斜高为x， 由 ∠VGO＝60°． 例4．正四棱台AC1的高为6cm，两底面边长是8cm，4cm，过它的一条对角线BD1，作一个和底面对角线AC平行的截面．求截面BED1F的面积． 分析：首先要弄清如何作出截面D1EBF，在等腰梯形D1DBB1中，求出BD1＝6，在Rt△A1AR中，由 EP＝EF ＝ ∴． 选配例题的目的： （1）截面问题是多面体中一个较为复杂的问题．特别是按要求作出这个截面，对立体几何知识要求的比较高． （2）截面问题也蕴涵着大量的线面关系问题． （3）截面问题中也存在大量的计算问题，要求解题时，计算正确、合理、准确． 还可选配这样的练习： （1）棱台的上、下底面面积分别S1，S2，其平行于底的截面面积，则此截面到上底面的距离等于 （2）在正方体ABCD—A1B1C1D1中． 求证：（1）对角线AC1⊥平面BDA1．（2）平面BDA1∥平面CB1D1． 3．要加强多面体中的综合练习，可选配这样的习题： 例5．三棱锥P—ABC的底面△ABC中， AB=AC=6cm，∠CAB=120°， 侧面PBC⊥底面ABC， 侧面PAC，PAB与底面所成的二面角均为45°． 求：（1）三棱锥P—ABC的高．（2）三棱锥P—ABC的侧面积． 分析：由已知可求出BC＝6，作出二面角的平面角∠PDO＝45°，欲求侧面积，只须在Rt△POD中，求出DO＝，于是S棱锥侧． 例6．如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ACD=90°，△PAD为等边三角形，且PA⊥AB．若AB = 1，CD = 2，AD =，分别取PC、PD的中点为M、N． （1）证明ABMN是平面图形并求截面ABMN的面积． （2）求D到平面PBC的距离． （3）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦． 解：（1）∵ MN是△PDC的一条中位线． ＝∥＝∥∴ MN ，可知MN AB ＝ ∥ ＝ ∥ ∴ AB