圆中典型计算题.docVIP

圆中典型计算题 ?例1.?如图所示，OC为圆O的半径，M是OC的中点，弦AB⊥OC于M，如果OC=4，求AB的长。 ????分析：由于这是弦与半径互相垂直的计算问题，可联想到垂径定理的运用。连半径可以出现直角三角形，运用勾股定理即可求得弦AB的长。 ????解法1：（利用垂径定理和勾股定理） ????连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4 ????∴ ????在Rt△AOM中 ????由勾股定理，得 ????∴ ????解法2：（利用垂径定理和锐角三角函数） ????连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4 ???? ????在Rt△AOM中，∵ ????∴∠A=30° ????∴AM=OA·cos30°= ????∴ ???说明：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理、勾股定理或锐角三角函数来求解。 ? ??例2.?如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，求圆O的直径。 ????分析：此题要求直径，但图中没有直径，因此可先作出直径，构造直角三角形，并利用圆周角定理的推论，将特殊角转移到直角三角形中，然后运用勾股定理或锐角三角函数等求出直径的长。 ????解法1：如图所示，作直径AD，连接BD ????∴∠ABD=90° ????∵∠ACB=30° ????而∠D与∠ACB所对的是同一条弧 ????∴∠D=∠ACB=30° ????在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=30°，AB=1.8cm ????∴AD=2AB=3.6cm ????即圆O的直径为3.6cm ????或由，得 ????解法2：如图所示，连接OA、OB ????∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角 ????∴∠AOB=2∠ACB=60° ????又OA=OB ????∴△AOB是等边三角形 ????∴OA=OB=AB=1.8cm ????∴圆O的直径为3.6cm ????说明：要求直径可先求半径，或作出直径，构造直角三角形，运用勾股定理等求出直径的长。 ? ??例3.?如图所示，△ABC内接于圆O，AE为圆O的直径，AD为△ABC的高，求证：∠BAE=∠CAD。 ????分析：这两个角既可以看做是同一个圆的两个圆周角，又可以看做是两个三角形的对应角，因此，可以添加不同的辅助线，利用圆中角的关系及三角形中角的关系来证明它们相等。 ????证法1：连接BE，如图（1）所示 ????∵AE是圆O的直径，∴∠ABE=∠ADC=90° ∵∠E=∠C，∴∠BAE=∠CAD 图（1） ????证法2：连接EC，如图（2）所示 ????∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=∠ADB=90° ????∵∠E=∠B，∴∠BAD=∠EAC ????∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD 即∠BAE=∠CAD 图（2） ????证法3：如图（3）所示，过点O作ON⊥AB，交AB于M，交圆O于N ????∴ ????∴ ????∵，∴∠ADC=∠AMO=90° ????∴∠BAE=∠CAD 图（3） ????说明：（1）如果已知条件中有关于圆直径的条件，可连接圆上有关的点，以构成直径所对的圆周角，这是圆的证明与计算题中常见的一条辅助线。 ????（2）证法3中由ON⊥AB，得到，从而得到，即∠AOM=∠C，这是一种常用的证明角相等的方法，在证明与计算中要能灵活运用。 ? ??例4.?已知：如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D。 ????求证：AC是圆O的切线。 ????分析：由于AC与圆O有没有交点，已知条件中并没有指出，因此要证明AC是圆O的切线，就需要过点O作AC的垂线OE（垂足是E），再证明OE是圆O的半径即可。 ????证法1：如图所示，连接OD，AO，过点O作OE⊥AC，垂足是E ????∵AB与圆O相切于点D ????∴OD⊥AB ????又AB=AC，OB=OC ????∴∠BAO=∠CAO ????∴OD=OE ????∵OD为圆O的半径 ????∴OE为圆O的半径 ????又OE⊥AC，∴AC是圆O的切线 ????证法2：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足是E，证明△BDO≌△CEO，得到OD=OE ????说明：判定直线为圆的切线时，主要辅助线的添加方法：①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直（如例5）；②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径（如此例）。 ? ??例5.?如图所示，△ABC中，∠C=90°，以DB为直径作半圆切AC于E点，O是圆心，若AB=10，BC=6，求AD的长。 ?