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圆锥曲线典型解答题（35题） 1、（2012届黄冈中学5月）设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且． ?? （1）试求椭圆的方程； ? （2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），试求四边形面积的最大值和最小值． 2、如图，四边形为矩形，点的坐标分别为、，点在上，坐标为，椭圆分别以、为长、短半轴，是椭圆在矩形内部的椭圆弧．已知直线与椭圆弧相切，且与相交于点． （Ⅰ）当时，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）圆在矩形内部，且与和线段EA都相切，若直线将矩形分成面积相等的两部分，求圆M面积的最大值． 3、如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点 （1）写出抛物线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值。 ? 4、过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点，设切线，的斜率分别为和. ? (1)求证：; (2) 试问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.? 5、 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 ?? （1）求椭圆C的方程； ?? （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。 6、已知椭圆：，分别为左，右焦点，离心率为，点在椭圆上，， ，过与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以线段为邻边的四边形是菱形？若存在,求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 7、（12分）已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E. ?? （1）求动点E的轨迹方程； （2）设直线与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：OPQ面积的最大值及此时直线的方程. 8、 给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。 （1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点。求证：⊥. 9、已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点）使等式成立. ?? （I）求双曲线的方程； ?? （II）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 10、已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 11、（本小题满分15分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1．F2分别是椭圆的左．右焦点，直线PF1与圆C相切． （1）求m的值与椭圆E的方程； （2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围． 12、如图，椭圆方程为，为椭圆上的动点，为椭圆的两焦点，当点不在轴上时，过作的外角平分线的垂线,垂足为，当点在轴上时，定义与重合。 （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）已知、，试探究是否存在这样的点：点是轨迹内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且的面积？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。 ? 13、如图所示，椭圆C：的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)． (1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交于点M。 (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上； (ⅱ)求△AMN面积的最大值． 14、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值． 15、过抛物线C:上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。 （1）求证：直线AB的斜率为定值； （2）已知两点均在抛物线：上，若△的面积的最大值为6，求抛物线的方程。 16、是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为． ?? （1）求双曲线的离心率； ?? （2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值． 17、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且． (Ⅰ)求C1的方程； (Ⅱ)平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B