高等数学方法简介第一、二讲.pptVIP

高等数学方法 前言 二. “高等数学方法”的结构与学习方法 华罗庚 （1910 - 1985） 参 考 书 教学安排参考 第一、二讲 高等数学中的方法综述 第三讲 研究函数与极限的基本方法 第四讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第五讲 导数应用的方法 第六讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法 第七讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法 第八讲 几类常微分方程的求解法 第九讲 空间解析几何方法及其应用 第十讲 研究多元函数微分学概念的方法 第十一讲 多元函数微分法及其应用 第十二讲 二重及三重积分的计算法 第十三讲 线面积分的计算法 第十四讲 级数的收敛、求和及展开法 第十五讲 试题类型及解题方法分析 第一、二讲 一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 ) 例如 , 为什么用 测量圆面积 又如 , 为什么用增量比的极限定义导数 ? 再如 , 椅子稳定问题 (P515～P516) 证明: 设 二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455) 1. 简化方法 2. 直观分析法 3. 逆向分析法 4. 类比法 5.归纳思维 6.发散思维 例1. 证明 例2. 例3. 2. 直观分析法 例如 , 求曲线 例4.已知 例5.已知 3. 逆向分析法 例1. 设函数 例2. 设函数 例3. 证明方程 4. 类比方法 例2. 设 例3. 说明: 类似应用 Cauchy 中值定理易推出 归纳思维是从众多的事物和现象中找出共性和本质的抽象性思维。 如线性微分方程解的理论、n阶常系数线性微分方程求解方法，求高阶导数等 如线性微分方程的通解理论 归纳可得 3）常数变易法 例1. 试证函数 当 例2. 设 例3. 设 例1.设 P74 题*6. 证明: 若 例2.设 例3. 例4. 设 例5. 已知二阶常微分方程 1. 分析综合法 例1. 证明 例2. 设 例3. 例4 设 例1. 设 例3. 设 例5. 则F(x)在[a,b]连续,且 3. 反证法 例1. 例3. 设函数 4. 计算性证题法 通过计算使命题成立的方法,称为计算性证题法. 例1. 设 例2. 证明 解法2 利用泰勒公式 解法3 利用洛必达法则 例3. 设 例3. 设 例4. 例5. 设 四、研究基本运算的方法 利用对称性,变量代换,定义,辅助参数， 辅助积分，辅助线，辅助面，已知结论等 例1. 设 例2. 求 例4. 求 例5. 计算广义积分 计算广义积分 例6. 解微分方程 例7. 求直线 通过“执果溯因”寻找证明的途径 利用“由因导果”写出证明过程 分析: 要使 当 因此只要 当 时 , 必有 证明: 可表为一周期为T的函数与一线性函数之和 连续且周期为T , 则 其中b是常数,因此只要 是周期为T的函数 分析: 设 为正实数,试证 分析: 为 上的上凹函数 在 上 满足 ( P473 例12 ) 在 上可导, 且 , 证明至少存在 一点 使 分析: 方法1 令 可考虑对函数 在区间[ a , b ]上用 Cauchy 中值定理 . ( P81 例10 ) 例4 设 一点 使 分析: 令 方法2 故可考虑对 问题等价于证明 Rolle 中值定理. 在 [ a , b ] 区间上用 ( P81 例10 ) 在 上可导, 且 , 证明至少存在 利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如: 寻找辅助函数一般用逆向分析法。 通过设辅助函数, 利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在性； 通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明 相关不等式； 2. 辅助函数方法 在 上连续且可导, 并有 n 个不同的 零点 证明: 对任意常数 a , 在 上至少有 提示: 设辅助函数 在 上用 Rolle 定理 . n-1 个不同的零点. 设函数 和 在 上二阶可导, 且 分析: 只要证 且 依据乘积导数法则想到设辅助函数 (用反证法) 再证明 上满足 Rolle 定理条件, 且应证 试证至少存在一点 使 ( P475 例15,考研95 ) 例 2. 在