数值计算方法—拉格朗日插值.docVIP

数值计算方法作业 专业：测控1002 学号姓名：崔 海 雪 拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab算法程序； 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。 Lagrange插值公式 （1）线性插值 设已知 ， 及=f() ,=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到 =+（x-）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式 =（x）+(x). 其中， （x）=,(x)=。均为1次多项式且满足 （x）=1且(x)=0。或（x）=0且(x)=1。 两关系式可统一写成= 。 （3） （2）n阶Lagrange插值 设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）. 易知=（x）+....+. 其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由 c=,i=0,1,...,n. 总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。 3，Lagrange插值余项 设，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x[a,b], 其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)= 4.Matlab程序及计算结果 clc clear x=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5]; y=[1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487]; x0=0.285 m=length(x); n=length(y); if m~=n error(x y矩阵不统一); end b=0; for k=1:5 a=1; for i=1:5 if i~=k; a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i)); end end b=y(k)*a+b; end L5=b b=0; for k=2:3 a=1; for i=2:3 if i~=k; a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i)); end end b=y(k)*a+b; end L1=b b=0; for k=2:4 a=1; for i=2:4 if i~=k; a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i)); end end b=y(k)*a+b; end L2=b 运行结果： L5 =1.3298 L1 =1.3306 L2 =1.3298 5．Lagrange插值应用 在物理化学，资产价值鉴定工作和计算某一时刻的卫星坐标和钟差等这些方面可以应用Lagrange插值。采用拉格朗日插