传染病 及房室模型2-2.pptVIP

微分方程模型 传染病模型 SIS的解析解 二、 流体混合问题与牛顿的牛吃草问题 课堂讨论：通风问题 模型2 记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t)与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律， 其中： 解得： （4.17） 可得： （3.16） 统计结果显示，(4.17)预报结果比(4.15)更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称 最大值时刻t1为此传染病的流行高峰。 令： 得： 此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。 模型2仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。 为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统 infective recovered susceptible k l （4.18） l 称为传染病恢复系数 求解过程如下： 对（3）式求导，由（1）、（2）得： 解得： 记： 则： 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型： 模型3 infective recovered susceptible k l 由(1)式可得： 从而解得： 积分得： （3.19） 不难验证，当t→+∞时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。 为揭示产生上述现象的原因（3.18）中的第（1）式改写成： 其中 通常是一个与疾病种类有关的 较大的常数。 下面对 进行讨论，请参见右图 如果 ，则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。 如果 ，则开始时 ，i(t)单增。但在i(t)增加的同时， 伴随地有s(t)单减。当s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直至此疾病在该地区消失。 鉴于在本模型中的作用， 被医生们称为此疾病在该地区的阀值。 的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。 图4-14 综上所述，模型3指出了传染病的以下特征： （1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。 （2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。 （3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。 模型检验： 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。 及： 注意到： 可得： （4.20） 通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有： 代入（4.20）得近似方程： 积分得： 其中： 这里双曲正切函数 ： 而： 对r(t)求导 ： （4.21） 传染病模型 流体混合问题与牛顿的牛吃草问题 药物在体内的分布与排除（房室模型） 问题 描述传染病的传播过程 通过：分析受感染人数的变化规律 目的： 预报传染病高潮到来的时刻 预防控制传染病蔓延 三类人 已感染者(Infective, 病人) 未感染者(Susceptible，易感染者) 移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等) 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? Malthus模型 假设 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 建模 ? 短期预测模型 Logistic模型（SI模型——感染无治愈模型） 区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为?, 且使接触的健康人致病 建模 ? ~ 日 接触率 AIDS等 1/2 tm i i0 1 0 t tm~新增病人高潮时刻 ? (日接触率)? ? tm? Logistic 模型 所有人被感染? ? t=tm, di/dt 最大 Logistic模型 SIS模型——有治愈无免疫模型 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 伤风、痢疾等 3）病人每天治愈的比例为? ? ~日治愈率 建模 ? ~ 日接触率 1/? ~感染期 ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 试试看：解析解怎样求？ SIS模型 i0