关于C-余弦算子函数簇的一个结果.pdf

第二十 四卷第九期 楚 雄 师 范 学 院 学 报 Vo1．24 NO．9 2009年 9月 JOURNALOFCHUXIONGNORMALUNIVERSITY Sep．2009 关于 C一余弦算子 函数簇 的一个结果 郎开禄 (楚雄师范学 院数学系 ，云南 楚雄 675000) 摘 要 ：在本文中，我们讨论 了C (t) 一C是紧算子的C一余 弦算子函数簇 {C (t) It∈R}， 获得 了一个性质 。 关键词 ：C一余弦算子 ；紧算子 中图分类号 ：0177 文章标识码 ：A 文章编号 ：1671—7406 (2009)09 —0020 一o3 1．前 言 设 是Banach空间，{C(t)It∈R}c，J()，若算子A生成余弦算子函数簇 {C(t)It∈R}，则二 阶抽象Cauchy问题 r M”(t)：Au(t)， { “(0)= ∈D(A)， tu(0)= 。∈D (A)= { ∈XI5(·) ∈C(，)}． 有唯一解u(t)=C(t)“。+S(t)“。∈C(，)nC(CR，D(A))，其中 一 S(t)u1=JC(s)Mlds， JU S(t)是 生成的正弦算子函数簇 ．这表明余弦算子函数簇是研究二阶抽象Cauchy问题的重要理论工 具。因此，深入研究余弦算子函数簇具有重要理论和实际意义。文[I]，[2]，[3]，[4]等研究深入了余 弦算子函数簇。 c一余弦算子函数簇推广了余弦算子函数簇 ，且扩大了二阶抽象 Cauchy问题的应用范围，文 [5] 讨论了c一余弦算子函数簇的基本性质、生成定理、在二阶抽象Cauchy问题中的应用，文[6]讨论了c 一 余弦算子函数簇的扰动。 文[7]讨论了C(t)一，是紧算子的余弦算子函数簇C(t)，获得了重要结果 ：C(t)一，是紧算子的充 要条件是生成元A是紧算子．受文[7]启发，在本文中，我们讨论了C(t)一C是紧算子的c一余弦算子 函数簇 {C(t)ItER}，获得了一个性质： 若K= {t∈RlC(t)一C是紧算子 }的内点不空，则K=R。 在本文中，均是Banach空间。 2．C一余弦算子 函数簇 定义 1 设 是Banach空间，{C(t)ltER}是 上的强连续有界线性算子簇，c∈ ()是单 射，若 (1)C(t+S)c+C(t—s)C=2C(t)C(S)(Vs，t∈R)； (2)C(0)：C； 则称 {c(t)lt∈R}是 上的c一余弦算子函数簇。 收稿 日期 ：2009—05— 12 作者简介 ：郎开禄 (1962一 )，男 ，云南楚雄人 ，副 教授 ，主要研究方 向：线性算 子半群及 微分方程 。 · 20 · 楚 雄 师 范 学 院 学 报 2009年 第 9期 郎 开 禄 ：关 T--C 一余 弦 算 -7-函数 簇 的 ～ 个 结 果 若还满足 (3)存在常数M， 0使 llC(t)ll≤Me (Vt∈R)， 则称 {C(t)It∈R}是 上的指数有界c一余弦算子函数簇 。 定义2 设{C(t)It∈R}是E上的c一余弦算子函数簇 ，令 )=LEIll t。业 州c)J)， A ：C～li，孔 主苎__ _-!_ ， ∈D(A)， 则称A是 {C(t)lt∈R}的生成元。 或等价的有 定义3 设 {C(t)lt∈R}是 上的c一余弦算子函数簇，令 )： El 洲c))， A：C一lira2掣 ，∈D(A)， 则称A是 {C(￡)lt∈R}的生成元。 性质 1 若 {C(t)lt∈R}是 上的c一余弦算子函数簇，则 C(一t)=C(t)，C(t)C=CC(t)，C(t)C(5)=C(s)C(t)，Vs，t∈R。 性质2 若A是 上