曲面的渐近方向与共轭方向曲面论(七).pdf

微分几何教案（十五） 曲面的第二基本形式：3.4—3.5 3.4 曲面的渐近方向与共轭方向 一 曲面的渐近方向 定义 （渐近方向）：曲面在 P 点使k =0 的方向（d ）=du:dv 叫做 n 曲面在P 点的一个渐近方向。 说明（1）设曲面在P 点的第二基本量为 L 、M 、N ，由解析几何 0 0 0 中二次曲线的一般理论知，（d）= du:dv是渐近方向的充要条件是 2 2 L du +2M dudv+N dv =0 ; 0 0 0 2 2 2 (2) 当 LN-M0 时，Ldu +2Mdudv+Ndv = 0 无解，所以在椭圆点 处，曲面没有渐近方向。 二 曲面的渐近曲线 定义 （渐近曲线）：曲面上的曲线，如果它每一点的切方向都是渐 近方向，则称其为渐近曲线。 2 2 渐近曲线的微分方程是：Ldu +2Mdudv+Ndv =0 例 求曲面 z=xy2 上的渐近曲线。 4 3 2 2 解 可以求出此曲面的 E=1+y ,F=2xy ,G=1+4x y ,L=0 ,M=2y/D， 2 1 N=2x/D .其中D EG F ，因此渐近曲线的微分方程 1 4 2 2 2  x y y 是：4y 2x 2 。由此得dy=0 和 2ydx+xdy=0 ,积分后得渐近曲 dxdy  dy 0 D D 2 线为 y=C ,x y=C （C 、 C 为积分常数）。 1 2 1 2 三 曲面上渐近曲线的判定 命题 1 曲面上的直线一定是渐近线。 证明 因为直线的曲率k=0 ，所以沿直线的方向 kn=kcos θ=0,所以 直线一定是曲面上的渐近线。 28 微分几何教案（十五） 曲面的第二基本形式：3.4—3.5 命题 2 曲面上非直线的曲线是渐近线曲面的主法向量垂直于 曲面在同一点的法向量曲面的副法向量平行于曲面在同一点的法 向量曲面在曲线每一点的切平面是曲线在这点的密切平面。 证明 因为沿渐近曲线有法曲率kn=kcos θ=0 ，对非直线k ≠0， 所以 cos θ=0，因此θ=π/2 ，而θ是曲线在一点的主法向量与曲面 在同一点的法向量的夹角，所以结论成立。 例如 正螺面上的直母线和螺旋线都是曲面上的渐近线。每条曲 线在它的主法线曲面上是渐近线。（见练习P 7,9 题）。 146 推论 设两个曲面沿一条曲线相切，则这曲线如果是其中一个曲 面上的渐近线，那么它也是另一个曲面上的渐近线。 四 渐近网 定义 （渐近网）如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族 渐近线，这两族渐近线构成的曲线网叫做曲面上的渐近网。 2 2 可知：渐近网