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第二章第二章 曲面论曲面论 第二章第二章 曲面论曲面论 §§1 曲面的概念曲面的概念 §§ 曲面的概念曲面的概念 1.1 简单曲面及参数表示简单曲面及参数表示 简单曲面及参数表示简单曲面及参数表示 一一 简单曲面简单曲面 一一 简单曲面简单曲面 1 约当约当(Jordan) 曲线曲线: 平面上不自交的闭曲线。 约当约当 曲线曲线 2 初等区域初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二二 （简单（简单）曲面的参数方程）曲面的参数方程 二二 （（简单简单））曲面的参数方程曲面的参数方程 1 曲面的参数方程曲面的参数方程、曲纹坐标、曲纹坐标 曲面的参数方程曲面的参数方程、、曲纹坐标曲纹坐标 设 G 是初等区域，G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为 （x,y,z), 则 x,y,z 都是 x = x(u,v)   u,v 的函数： y = y(u,v) —————— （1），  z = z(u,v) （1）叫做曲面 S 的参数方程或参数表示；u 和 v 称为曲面 S 的参数 或曲纹坐标曲纹坐标。 曲纹坐标曲纹坐标 如果曲面上的点 P0 是由(u , v ) 确定的，则(u , v ) 叫P0 的曲纹 0 0 0 0 坐标，也叫曲线坐标，简称坐标，可记为 Pu( ,v ) 或(u , v ) 。 0 0 0 0 曲面S 的方程也可以写成 r r r = r(u, v) = {xu( , v), yu( , v), zu( , v)} 叫做曲面 S 的矢量式参数方程。 1 2 坐标曲线坐标曲线 坐标曲线坐标曲线 初等区域 G 所在平面的坐标直线v=常数或u=常数在曲面 S 上的 像称为曲面的坐标曲线坐标曲线。 坐标曲线坐标曲线 v v v=常数，u 变动的曲线r = r(u v ) 叫u- 曲线； 0 v v u=常数，v 变动的曲线r = r(u v) 叫v- 曲线。 0 两族坐标曲线 （ 线族、 线族）在曲面上构成的曲线网，称 u_ v_ 为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网。 曲纹坐标网曲纹坐标网 例 1 对于圆柱面x = Rcosθ , y = Rsin θ , z = v 。 θ - 曲线 （z =常数）：是垂直于z 轴