微分几何(修订版).pdf

微分几何试题及参考答案* 一、选择题 1. 曲线r = r(s) 在P(s) 点的基本向量为, , , 则下面错误的是 ( ) ˙ ˙ ˙ (A) = (B) = − (C) = 2. 圆柱螺线是圆柱面上的 ( ) (A) 渐近线 (B) 曲率线 (C) 测地线 3. 曲面在每一点处的主方向 ( ) (A) 至少有两个 (B) 只有一个 (C) 只有两个 L M N 4. 若在曲面上一点处有 = = , 则这点是曲面的 ( ) E F G (A) 圆点 (B) 平点 (C) 脐点 5. 设曲面S : r = r(u v) 上的曲线Γ : r = r(u(s) v(s)) 在P 点的基本矢为, , , 曲面S 在P 点 的单位法矢为n, 则曲线Γ 在P 点的测地曲率g = ( ) (A) × n (B) ( n) (C) ( n) 二、填空题 1. 曲线在P 点的基本向量为, , , 则过 P 点由 和 确定的平面叫曲线在 P 点的 . 2. 如果一条曲线的主法线与一固定方向垂直, 则此曲线的副法线与固定方向 . 3. 曲面z = z(x y) 在点(x y ) 处的切平面的方程是 . 0 0 2 2 2 4. 已知曲面r = r(u v) 有(dr) = 3(du) + 4(dv) , 则曲面上的曲线u = u(t), v = v(t), 从t0 到t 的 弧长微分的平方(ds)2 = . 5. 曲面S 在 P 点的沿方向 (d) 的法截面与曲面的交线叫做曲面在P 点的沿方向 (d) 的 . 6. 曲面r = r(u v) 的坐标网是共轭网, 则曲面的第二基本形式可以写成 . 7. 曲面S 在P 点的第一基本量为E , F , G, 第二基本量为L, M , N . 则曲面S 在P 点的方向 du : dv 是主方向的条件为 . 8. 曲面的两个基本形式与Gauss 曲率K 和平均曲率H 之间的关系为 . 9. 曲面的第一类Christoffel 符号[i j l] = . 10. 如果G 是测地三角形组成, 则G K d = s(△) − , 其中s(△) 表示