曲面论(四)2.4-2.6.pdf

微分几何教案（十二） 曲面的第一基本形式：2.4—2.6 2.4 曲面域的面积   设曲面 S：r r (u, v) ，给出曲面 S 上的一个区域 D,我们推导出 区域D 面积的计算公式。 首先用坐标曲线把曲面域 D 分成完整的和不完整的曲边四边 形。u-线，v-线越密，完整的曲 边四边形就越接近于平行四   r dv P (u du ,v dv ) v 边形，而不完整的曲边四边形 P (u ,v dv ) 2 的面积在整个区域内所占比  r du u 重越小，以至可以略去，而对 P (u du ,v )  P(u,v) 1 每一个 曲边四边形P P P P ， 1 2 P (u, v)  设 ，P (u u ,v ), P (u ,v v ) ，P (u u ,v v) ，则 1 2       PP r (u u ,v) r (u ,v) [r (u ,v)  ]u r du ， 1 u 1 u       PP r (u,v v) r (u ,v) [r (u ,v)  ]v r dv ， 2 v 2 v  以PP ,PP 为邻边的平行四边形的面积近似为 1 2     2 PP PP r r dudv EG F dudv ，所以， 区域D 的面积元素 1 2 u v d EG F 2 dudv ，区域D 的面积S d EG F 2 dudv ，其中    D D  D 为曲面上区域 D 对应(u,v)平面