与整数有关的含参数一元二次方程的解法.pdfVIP

上海中学数学 ·2009年第 3期 与整数有关的含参数一元二次方程的解法 312400 浙江省嵊州市城关中学 许永江 对于一个含参数 的一元二次方程 ，要判断 的值 ． 它是否有整数根或有理根 ，基本依据是判别式 ， 解 ：由z —3垃 +2k0—6—0，得 (一2k)( 而必须具体 问题具体分析．这里经常要用到一 ～ 愚)： 6． ‘ ’ 些整除性质．一元二次方程 的整数解历来是数 ． ．z、忌为整数 ．原方程化为 学竞赛 中的热点问题之一 ，题型多变 、难度大是 f 一 2k一±2 fz一2k一±3 这类问题 的特点，但其解法仍然是有章可循 的． l 一是=±3 Iz一是一±2 一 、 巧用求根公式法 或1fz～2k：±1 f～2k=±6 z一是：+6旦{z一点一+1 ‘ 例 1 试确定 为何值时，方程 (2—1)2 由于 一2k与z～忌同号，故得八个不定方 — 6(3m一1)z+72— 0有两个不相等的正整数 程组 ，解得 最一一 1，1，一5，5． 根 ． 评析 ：利用 因式分解可 以把原方程进行完 解 ：首先 m0— 1≠0，则 m≠±l_又 △一 全分解或部分分解 ，转化成几个不定方程 ，然后 36( 一 3) 0，所 以 ≠ 3． 利用整数的性质可 以来解决． 10 用求根公式可得 1= ，X2一 ． 三、巧用判别式来解决 n ～ l fn —f 。 。 ． Xl，X2是正整数 ，．。．m一1一l，2，3，6，且 例4 设 是不为零的整数 ，关于z的二次 + 1= 1，2，3，4，6，12． 方程 袱 2一 ( 一1)z+ 1—0有有理根 ，试求 解得 = 2．这时 zl一6，X2：4． 的值 ． 评析 ：一般来说 ，利用求根公式可 以先把方 解 ：一个整系数 的一元二次方程有有理根 ， 程 的根求 出来 ，然后利用整数 的性质 以及整除 那么它的判别式一定是完全平方数． 性理论 ，就 比较容易求解 问题 ，这是最 自然 、最 令 △= ( —1)。一4m一 ，其 中，z是非负 常规的解法． 整数 ， 于是可得 m2—6m+ l一 0， 二、巧用因式分解法 ’ ． ． (m 一3) 一n2— 8，即 (m一 3+ )( 一 例2 已知方程a2z2一 (3a—8a)+2a0 3一 )一 8。 — 13a+15—0(其 中口是非负整数)至少有一个 由于 m一3+ ≥m一3一 ，并且 ( 一3+ 整数根，求 n的值． )+ (优一3一”)