第1节 映射与变换.pptVIP

* * §1 映射与变换 重点 1、单射、满射、双射、逆映射概念 2、映射复合定义与性质 3、单射和双射的性质 如果存在一个对应 法则 f， 一、映射定义 通过这个法则 f ，使得S中的每一个元素a， 则称 f 为 记为 称 为a在映射f 下的象， 都有 中一个唯一确定的元素 与它对应, 设S和 是给定的两个非空集合， S到 的一个映射， 映射简单记为 或 为了强调对应法则也可记为 1、映射定义 ① 设映射 , ② 集合S到S自身的映射称为S 的一个变换． 显然， 称为S在映射 f 下的象集。 ③ 注意 f 表示映射的对应规则。 ④ 区分函数与映射、映射与变换概念之间关系． ⑤ 两个映射相等是指对任意元素，它们的像相等。 集合 注释1 （前提是定义域相同） 例1　判断下列S 到 对应法则是否为映射 例3 任意一个在实数集R上的函数 都是 即I 把S上的每个元素映到它自身，I是一个映射， 实数集R到自身的映射， 称 I 为S上的恒等映射或单位变换， 的一个特殊情形。 例2　S是一个集合，定义映射 （注意映射乘法中起的作用，见下面的注释） 即函数可以看成是 映射 记为 2、特殊映射 则称f是S到 的一个单射； 如果S中不同元素的像也不同， 如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射. 1）若 即对任意的 ，均存在 如果 存在 使得 则称f 是S到 的满射; 即 假设有一个映射 ① 对有限集来说，两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同（单射条件 ？）。 ② 对有限集A及其真子集B， A与B之间不可能存在双射；但是对于无限集未必如此。 例如 注释2 ③ 证明映射是单射和满射的方法只有定义法，其中单射用定义的逆否命题，满射相当于解方程。 称gf 是映射f 和g 的复合或乘积。 定义新的映射 二、映射的复合与逆映射 设有两个映射 注释2 （1） 对任意映射 和映射复合定义容易验证 由单位变换 单位变换在映射乘法中起的作用类似1在数的乘法中起的作用 （2） 映射的复合不满足交换律（见教材例子） 定理1.1 映射的复合满足结合律， 即若有三个映射 则 证明 下面利用映射相等定证明之。 映射相等满足什么条件？ 首先，(gh)f 和g(hf )都是S到 的映射。 齐次，对任意的 由映射乘法的定义得 对于两个映射 如果 则称f 是可逆的映射并且称g是f 的逆映射。 映射可逆的条件是什么？可逆映射的逆映射唯一吗？函数中的反函数与此有关吗？ 定理2.2 （1）映射 可逆的充分必要条 件是f 是双射。 （2）可逆映射的逆映射是唯一的。 证明 （1）假设f 是可逆的。 令f 的一个逆映射为 则由逆映射的定义知 对任意的 如果 则 单射 对任意的 记 则 满射 假设f 是双射。 既然f 是满射， 于是对任意的 存在 使得 并且由f 是单射知对应于 的a是唯一的。 利用f 定义新的映射 如果 容易验证 因此，f 可逆并且g是f 的一个逆映射。 （2）见教材。 由于可逆映射的逆映射是唯一的， 于是把可逆映射 f 的逆映射记为 从上面的证明知可逆映射与其逆映射之间的关系 f 与 互逆 注意如果f 是函数， 则它的逆映射就是反函数。 显然， f 可逆时， 也可逆并且 例1 （1）如果f, g 都是单射， 则gf 也是单射。 则gf 也是满射。 （2）如果f, g 都是满射， 则gf 也是双射并且 （3）如果f, g 都是双射， 证明 （1）假设 并且 g是单射 f是单射 假设有两个映射 gf 是单射 （2）对任意的 是满射 存在 使 是满射 存在 使 gf 是满射 （3）由（1）（2）知gf 是双射。 由于 于是由逆映射的定义和唯一性知 作业：P81 Ex 2 * * * * * * * * * *