【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何综合检测 苏教版选修2-1.doc

第3章　空间向量与立体几何 (时间120分钟，满分160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上) 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于________． 【解析】　＋＋－ ＝＋＋ ＝＋＝. 【答案】　 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系是________． 【解析】　u＝－2a，a∥u，l⊥α. 【答案】　lα 3．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1，－1,0)，则a与b夹角的余弦值为________． 【解析】　cos〈a，b〉＝＝＝. 【答案】　 4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________. 【解析】　＝＋ ＝－＋＝－c－a＋b. 【答案】　－a＋b－c 图1 5．如图1，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，则下列各组向量中，数量积一定等于0的个数为________． 与； 与； 与. 【解析】　⊥平面ABCD，⊥. ∵⊥，， ⊥. ∵⊥，， ⊥. 【答案】　3 6．设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)，(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是________． (－1，－2,5)；(－1,1，－1)；(1,1,1)；(1，－1，－1)． 【解析】　(1,2,1)·(－1,1，－1)＝－1＋2－1＝0， (－1,1,2)·(－1,1，－1)＝1＋1－2＝0， (－1,1，－1)为法向量，其余均不符合条件． 【答案】　 7．如图2，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别为CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于________． 图2 【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)， ＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)． cos〈，〉＝ ＝＝. 【答案】　 图3 8．如图3所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，A′AB＝A′AD，BAD＝，AB＝AD＝a，AA′＝b，则对角面BB′D′D的面积为________． 【解析】　由题意知＝－，又A′AB＝A′AD，AB＝AD＝a，AA′＝b， ·＝·(－)＝ab(cosA′AD－cosA′AB)＝0，AA′⊥BD，由题意知AA′DD′， DD′⊥BD，BAD＝，AD＝AB＝a，BD＝a，又DD′＝AA′＝b，四边形BB′D′D是矩形，它的面积是BD×DD′＝ab. 【答案】　ab 图4 9．如图4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________． 【解析】　建系如图，则M(a，a，a)，N(a，a，a)， ＝(－，0，a)． 平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，a,0)， ·＝0， ⊥， 又MN平面BB1C1C， MN∥平面BB1C1C. 【答案】　平行 10．如图5所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________． 图5 【解析】　建系如图，A(2,0,0)，C1(0,2,1)， ＝(－2,2,1)， 又平面A1B1C1D1的一个法向量为n＝(0,0,1)， sin θ＝|cos〈，n〉|＝. 【答案】　 11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，则二面角A1－EC－A的余弦值为________． 【解析】　建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，E(1，，0)，C(0,1,0)． ＝(0,0,1)，＝(0，，－1)，＝(－1,1，－1)． DD1垂直于平面AEC，为平面AEC的一个法向量． 设平面A1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即取n＝(1,2,1)， cos〈，n〉＝ ＝＝，二面角A1－EC－A的余弦值为. 【答案】　 图6 12．空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，OAC＝45°，OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________． 【解析】　由题意知·＝·(－)＝·－·＝8×4×cos 45°－8×6×cos 60°＝16－24. cos〈，〉＝＝＝. OA与BC所成角的余弦值为. 【答案】　 13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________． 【解析】　建系如图，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1，)， ＝(－1,0