【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换教案 苏教版选修4-2.docVIP

2.2　几种常见的平面变换 2．2.1恒等变换 2．2.2伸压变换 2．2.3反射变换 课标解读 1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点，熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点． 2．了解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义． 3．能用矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点). 1．恒等变换 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都能把自身变成自身．因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换．我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E. 2．伸压变换 矩阵M1＝把平面上每一个点P都向x轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x轴上的点没变； 矩阵M2＝把平面上每一个点P都沿x轴方向伸长为原来的2倍，只有y轴上的点没变． 像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换． 3．反射变换 (1)反射变换的概念 像，，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点． (2)反射变换的分类 与矩阵M1＝对应的变换是关于x轴的轴反射变换． 与矩阵M2＝对应的变换是关于y轴的轴反射变换． 与矩阵M3＝对应的变换是关于原点的中心反射变换． 与矩阵M4＝对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换． 4．线性变换 一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换． 1．设单位向量i＝(0,1)，j＝(1,0)，以i，j为邻边的正方形称为单位正方形，则单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形？ 【提示】　由于Ei＝＝， Ej＝＝.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形． 2．如何理解伸压变换？ 【提示】　伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸．以矩阵为例，它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变，x轴上方的点垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，而x轴下方的点也垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为x轴上的点的纵坐标都为0，所以“原地不动”．类似地，对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变，将y轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍，y轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍，而y轴上的点的横坐标都为0，所以“原地不动”． 3．反射变换的作用是什么？ 【提示】　根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形． 伸压变换的应用 　求直线y＝4x在矩阵对应的变换作用下所得的图形． 【思路探究】　矩阵对应的是沿y轴方向的伸压变换，它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变，而纵坐标变为原来的一半，从而可用求轨迹方程的代入法(相关点法)求其轨迹． 【自主解答】　任意选取直线y＝4x上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P′(x0′，y0′)，则有＝＝. 则有：故又因为点P在直线y＝4x上， 所以y0＝4x0，即有2y0′＝4x0′. 因此y0′＝2x0′，从而直线y＝4x在矩阵作用下变成直线y＝2x. 利用伸压变换解决问题的类型及方法： (1)已知曲线C与变换矩阵，求曲线C在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解． (2)已知曲线C′是曲线C在伸压变换作用下得到的，求与伸压变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解． (1)若将本例变为：一直线l在矩阵对应的变换作用下变成直线y＝2x，求该直线的方程． (2)若本例变为：直线y＝4x在二阶矩阵M对应的沿y轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y＝2x，试求矩阵M. 【解】　(1)任意选取直线l上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P(x0′，y0′)，则有 ＝＝则有. 又因为点P′(x0′，y0′)在直线y＝2x上， 所以y0′＝2x0′，即有y0＝2x0， 因此y0＝4x0，从而求得该直线为y＝4x. (2)设P(x0，y0)为直线y＝4x上的任意一点，P′(x0′，y0′)是P(x0，y0)在矩阵M对应的伸压变换作用下得到的点，则此点在直线y＝2x上．设伸压变换矩阵为(k≠0)， 则有＝＝， 即所以将其代入y＝4x中，得4x0′＝y0′，即y0′＝4kx0′.又y0′＝2x0′，4k＝2，得k＝，所以所求矩阵为. 反射变换的应用 　求直线y＝6x在矩阵对应的变换作用下所得的图形的表