【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课后知能检测 新人教A版选修2-2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课后知能检测 新人教A版选修2-2 一、选择题 1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x0)，为使利润最大，应生产(　　) A．6千台　　　　　　　B．7千台 C．8千台 D．9千台 【解析】　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x0)， 又由y′＝－6x2＋36x＝0得x＝6，且当x(0,6)时，y′0，当x(6，＋∞)时，y′0， 当x＝6时，y最大，故应生产6千台． 【答案】　A 2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为(　　) A. cm B．10 cm C．15 cm D. cm 【解析】　设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积V＝πx(202－x2)(0x20)． V′＝(400－3x2)，令V′＝0得x＝，又当0x时，V′0；x20时，V′0， 当x＝时，V取最大值． 【答案】　D 3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　) A．0.016 2　　　　　　　B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6 【解析】　依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0x0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2. 令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)． 当0x0.032 4时，y′0； 当0.032 4x0.048 6时，y′0. 所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 【答案】　B 4．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为(　　) A．10 km/h B．20 km/h C．5 km/h D. km/h 【解析】　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km. 则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)． 由已知条件，得40＝k·203，k＝. f(x)＝a(x2＋)． 由f′(x)＝＝0，得x＝10. 当0x10时，f′(x)0； 当10x100时，f′(x)0. 当x＝10时，f(x)有最小值， 即速度为10 km/h时，总费用最少． 【答案】　A 5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是(　　) A．20　　　B．18　　　C．16　　　D．14 【解析】　正方形边长为x，则 V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)(0x)． V′＝4(3x2－13x＋10)(0x)． V′＝0得x＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的， 当x＝1时，容积V取得最大值18. 【答案】　B 二、填空题 6．(2013·开封高二检测)做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为________． 【解析】　设底面边长为x分米，则高h＝，其表面积s＝x2＋，s′＝2x－，令s′＝0，则x＝8. 【答案】　8分米 7．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点BC位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________． 【解析】　由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2， 矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0x2)．S′＝8－6x2. 令S′＝0，解之得x1＝，x2＝－(舍去)． 当0x时，S′0； 当x2时，S′0. 当x＝时，S取得最大值为. 即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大． 【答案】　， 8．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大． 【解析】　设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，所以p2＝，p＝，x0. 设总利润为y万元，则y＝·x－1 200－x3＝500－x3－1 2