2009年广东高考数学理科卷第19题研究.docVIP

2009年广东高考数学理科卷第19题研究 2009年广东高考数学理科卷第19题研究 　题目:(满分14分)已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xAxb.记曲线c在点a和点b之间那一段l与线段ab所围成的平面区域(含边界)为d.设点p(s,t)是l上的任一点,且点p与点a和点b均不重合. br=““　　(1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程; 　　(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,试求a的最小值. 　　 　　一、总体分析 　　 　　数学探究性问题是新课程实施后较受重视的一类问题,其问题新颖,题材丰富,综合性强,解法灵活多样,是高考命题的热点.2009年广东高考数学理科卷第19题是一道整合了圆、抛物线、直线等内容的综合性问题,包含了数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法,旨在考查考生理解直观与严谨的关系,检测考生的具体形象思维、想象思维与逻辑思维水平;考查考生的推理论证能力、运算求解能力和问题探究能力;考查考生的创新意识和问题解决能力,体现了数学新课程的理念与要求. 　　第(1)问求线段PQ的中点M 的轨迹方程,是一道常规题,考生只需初步具备已知与未知相互转化的数学思想,就能顺利作答.点P是已知的,点Q是可求的,点M是未知的,且3个点互相关联,用未知点M来表示已知点P,再通过点P的轨迹方程,即可得点M的轨迹方程.第(2)问通过数形结合思想,让圆动起来并求a的最小值,立意新颖灵活,考查学生对轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的理解,对线性规划图解法的分辨能力,对数学问题的探究与质疑、反思能力. 　　从评卷结果来看,许多考生受线性规划图解法思维定势的影响,直观地认为当圆G过点A时, a取最小值.命题者深谙此理,将动圆的半径定为和直线的斜率设为1,这是本题的亮点:数学发现离不开直观与合情推理,但未经严密论证的形象思维成果有时会是一种美丽的假象,容易使我们陷入泥潭. 　　 　　二、得分情况统计 　　 　　随机选取约33.6万份样卷进行统计,该题满分14分,第(1)(2)问各7分.考生平均得分3.23分,标准差3.18,将0～14分划分为6个分数段,各分数段人数及百分比例如下表: 　　作为倒数第三大题,这样的平均分显然不能令人满意,但又在情理之中.样卷统计结果显示:0～2分数段约占47.64%,该题平均分如此之低就不足为奇了. 　　实际上,考生只需把直线l与抛物线C的方程联立成方程组,即得1分;正确求出点A或点B的坐标,得2分;正确求出中点Q的坐标,得3分.全省约33.7万名理科考生中,约10.8万名考生没有联论文联盟http://www.LWlM.cOm立成方程组,近3万名考生联立了方程组但计算错误,约2.2万名考生没有求出中点Q的坐标或计算错误.说明部分考生缺乏最基本的数形结合思想方法、最基本的运算能力和一些最基本的公式法则,也说明双基教学中尚存在某些欠缺. 　　 　　三、典型错误统计 　　 　　随机抽取4786份样卷进行分析,存在以下7种典型错误情形. 　　1. 心理素质差.918份0分卷中,共有853份空白卷,约占全部样卷的17.82%. 　　2. 运算能力差.192份样卷在计算点Q坐标时,出现错误,约占全部样卷的4.01%. 　　3. 逻辑思维能力差.受线性规划思想影响,考生依赖思维定势,错误地认为a取最小值时,圆G过点A. 　　4. 数形结合意识不强.没有画图或不结合图形进行分析,认为当a 取最小值时,圆G与区域D的下边界相切,从而把圆G与抛物线 C的方程联立,出现错误. 　　5. 函数概念理解不完整.1162份样卷正确求出了点M的轨迹方程,却只有251份注意到了函数的定义域.在这251份样卷中,仅有53份给出了正确答案,有142份错误地认为定义域就是-1x2. br=““　　6. 曲线与方程的关系认识不清.2011份样卷中,设点M(x,y)并得到s=,t=以后,却有537份张冠李戴,错误地将其代入直线l的方程.事实上题目已经说得清清楚楚,点P(s,t)是抛物线上的一个动点. 　　7. 思维不缜密.在求出a的最小值后,许多考生忘记去判断圆G与直线l的切点是否在区域D内,或者主观地臆断该切点一定在区域D内,没有或不懂得如何进行反思检验. 　　 　　四、第(2)问解法分析 　　 　　当曲线G(即圆G)与D仅有一个公共点时,圆G与D的上边界线段AB正好相切,a取最小值. 　　解法1 利用等腰直角三角形的性质. 　　如图1,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,这是一个圆心为G(a,2),半径为的圆. 　　设圆G与直线l:x-y+2=0相切于点T(xT,yT),