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2011年高考广东卷理科数学18题分析 2011年高考广东卷理科数学18题分析 　题目：（满分13分） 　　在锥体PABCD中，ABCD是边论文联盟http://wwW.LWlm.cOM长为1的菱形，且DAB=60，PA=PD=，PB=2，E、F分别是BC、PC的中点. 　　（1）证明：AD面DEF， 　　（2）求二面角PADB的余弦值. 　　一、调查统计结果 　　我抽取了五十名大一学生（因为大一新生刚经历高考，比较熟悉高中内容）做此题，并分析得到本题的解法、易错点等.下表为统计的第（1）、（2）问所花时间的人数比例. 　　一直以来，1618题一般为易拿分的题，但此立体几何题属于中等偏难的题.由以上数据可知，本题虽不为压轴题，且高考时间仅有120分钟，但是要完成好本题，较多考生需要花费的时间较多，很多考生用了超过20分钟，必然导致做后面几题的时间较紧，影响高考的质量. 　　二、解题思路 　　1.第一问。 　　要证AD面DEF，即证线面垂直，可从线线垂直或面面垂直入手.图中直观发现，ABCD是菱形，且DAB=60，易证ADDE，故考虑从线线垂直推到线面垂直.要证AD面DEF，还需一个条件：AD垂直于面DEF中其他与AD相交的直线.证明此条件，直接观察图像较难发现有思路，于是尝试作辅助线.由于E，F分别是BC，PC的中点，可能用到中点、中位线等概念.取AD的中点G，由△ADB、△PAD分别是等边、等腰三角形，得ADPG，ADBG，由线面垂直的判定定理得AD面PBG，从而得ADPB.再由EF是△PBC的中位线得EFPB，从而ADEF，故可判断AD面DEF. 　　2.第二问。 　　此问较简单，由第一问可知ADPG，ADBG，而AD为面PAD和面ADB的交线，则PGB为所求二面角的平面角.在△PGB中，由余弦定理得二面角P-AD-B的余弦值. 　　三、解法及分析 　　1.第一问。 　　（1）解法1（采用上述解题思路）： 　　如图1，联结BD，取AD的中点G，联结PG、BG.在菱形ABCD中，由DAB=60知△BCD，△ADB是等边三角形.又E、G分别是BC、AD中点，DEBC，BGAD，从而ADDE.又由PA=PD得ADPG，故由线面垂直判定定理得AD面PBG，故ADPB.因为E、G分别是BC、PC的中点，所以EFPB，则ADEF，故AD面DEF. 　　（2）解法2 　　如图1，联结BD，取AD的中点G，连结PG、BG.推得AD面PBG的解法如解法1. 　　在菱形ABCD中，由GDBE，GD=BE得平行四边形GDBE，则GBDE.又因为E、F分别是BC、PC的中点，故EFPB.由面面平行的判定定理得面DEF面PBG.故AD面DEF. 　　（3）解法3 　　如图2，联结BD，分别取AD、PB的中点G、H.连结PG、BG、GH、HF.在菱形ABCD中，得△BCD，△ADB是等边三角形，ADGH及ADDE的解法如解法1.因为E、G、H、F分别是BC、AD、PB、PC的中点，因此HFBE∥GD，HF=BE=GD，则四边形HGDF是平行四边形，故GHDF，从而ADDF.由线面垂直的判定定理得AD面DEF. 　　（4）解法4 　　如图3，联结BD，取AD的中点G.联结PG、BG、CG、EG.EG与DE交于点O，联结FO.由PA=PD得ADPG. 　　因为在菱形ABCD中，E、G分别是BC、AD的中点，所以DGCE，DG=CE，则DGEC是平行四边形.那么O是CG的中点.又F是PC的中点，所PFPG.因为ADPG，所以OFAD.因为BCD=BAD=60，CE=BC=，CD=1，则DE==，有DE+CE=CD，故DECE，又CEAD，则ADDE，所以AD面DEF. 　　（5）解法分析 　　第一问的证明有多种解法，这取决于考生的思考习惯，解法14应该都囊括了本题第一问的解法.其实解法13前面证明由ADPG和ADBG得到AD面PGB相同，只是后面再跟AD面DEF联系时才不一样.而解法4没有证AD面PGB，而是通过另外一个途径证明AD面DEF.各解法之间略有不同，但是本质和解题关键点是一样的.各种解法的本质都是由线线垂直推到线面垂直.本题第一问难倒许多英雄好汉，而最难也是最重要的就是证明AD垂直于面DEF里除DE外的其他边.而这里最关键的就是运用（解法4）或由ADPG和ADBG得到AD面PGB（解法13都用到）.这题这个关键是做出本题第一问的重要切入口，本题难在切入口小，离开这个切入口，第一问难以完成. 　　2.第二问。 　　（1）解法1 　　如图4，由（1）可知PGAD，BGAD，而AD为面PAD和面ADB的交线，则PGB为所求二面角的平面角. 　　在Rt△ABG，△PAG中，已知PA=，AG=，A