【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.7 空间向量在立体几何中的应用课时作业 理（含解析）新人教A版.docVIP

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.7 空间向量在立体几何中的应用课时作业 理（含解析）新人教A版 一、选择题 1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1底面ABC，AB＝BC＝AA1，ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．45° 　　B．60° C．90° 　　D．120° 解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2， 则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， ＝(0，－1,1)，＝(2,0,2) cos〈，〉＝ ＝＝.EF与BC1所成角为60°. 答案：B 2．如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析： 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，＝(0,0,2a)， 设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)， 由 ??n1＝(1，－1,1)． sin θ＝＝＝. 答案：C 3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(　　) A.a B.a C.a D.a 解析： 以A1为原点建立如图所示的坐标系， 则A1(0,0,0)，M(，0，a)，D(0，a，a)，C(a，a，a) 设面A1DM的法向量为n＝(x，y，z)则 令y＝1，z＝－1，x＝2， n＝(2,1，－1)，点C到面A1DM的距离 d＝＝＝a. 答案：A 4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EFA1D，EFAC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建系，设正方体棱长为1， 则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝(，，－)，＝(－1，－1,1)， ＝－，·＝·＝0， 从而EFBD1，EFA1D，EFAC. 答案：B 二、填空题 5．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为________． 解析：b·a＝(1,1,1)·(－1,2,3)＝，则a在向量b上的投影为. 答案： 6．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 解析：cos〈m，n〉＝＝＝， 〈m，n〉＝45°.二面角为45°或135°. 答案：45°或135° 7．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)． 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝. 〈，n〉＝60°， 直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30° 三、解答题 8．(2014·安徽池州一中高三月考)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE面ABCD，AFDE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°. (1)求二面角F－BE－D的余弦值； (2)设点M是线段BD上一动点，试确定M的位置，使得AM面BEF，并证明你的结论． 解：(1)DE⊥平面ABCD， EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即EBD＝60°. ＝. 由AD＝3，BD＝3，得DE＝3，AF＝. 如图，分别以DA，DC，DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， ＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)． 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝，则n＝(4,2，)． AC⊥平面BDE， ＝(3，－3,0)为平面BDE的一个法向量， cos〈n，〉＝＝＝. 故二面角F－BE－D的余弦值为. (2)依题意