第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级).docVIP

第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题 （七年级） 一、选择题（每小题分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的．） 1．以下四个论断中不正确的是( ) A．在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数 B．两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称 C．两个有理数不等，则它们的绝对值不等 D．两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等 2．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是( ) 3．在代数式中，x与y的值各减少25％，则该代数式的值减少了( ) A．50％ B．75％ C． D．4．如果，且.则下列说法中可能成立的是( ) A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为负数，b为正数 5．AB∥CD，， 则等于（ ） A．° B．° C．° D．° 6．商家获得的利润按以下公式计算：利润=售价－进价－售价×税率.若税率由b%调为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的( ) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 二、填空题（每小题5分，共30分。） 7． 计算：= ． 8．关于x的方程的解是 ． 9．方程|2015x－2015|=2015的根是 ．10．若，则的值等于 ． 1．的末位数是 ．12．°角的时刻是 ．三、解答题（每题15分，共60分写出推理、运算的过程及最后结果．） 13．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”小明说：“利用数轴可以解决这个问题。” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及的最大值。写出解答过程． 14．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=　　；若∠COF=n°，则∠BOE=　　；∠BOE与∠COF的数量关系为　 　． （2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？如成立请写出关系式；如不成立请说明理由． （3）在图3中，若∠COF=65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由． 15．(本小题满分15分) 老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时． 6．有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ 预赛试题参考答案 一、选择题．．．．．．二、填空题．．．．．．分或4点30分 三、解答题．（1） 和8 （2）当，时 当，时 当，时 所以时，有最大值． ．（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°， ∴∠EOF=90°﹣34°=56°， 由∵OF平分∠AOE． ∴∠AOE=2∠EOF=112°， ∴∠BOE=180°﹣112°=68°； 当∠COF=n°， ∴∠EOF=90°﹣n°， ∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°， ∴∠BOE=180°﹣（180°﹣2n°）=2n°， 所以有∠BOE=2∠COF． 故答案为：68°，2n°，∠BOE=2∠COF； （2）∠BOE与∠COF的