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第九届华杯赛决赛试题及解答 2004年4月10日　10：00—11：00 一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个5分） 1.计算：2004.05×1997.05-2001.05×1999.05=(　) 2.图１是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，…。依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以３得到的余数排成一列，结果是 ０１２０１２０１２０１２０１２……　阴影格子所组成的数字是（　）。 3.等式：＝39× 恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（　）。 4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（　）平方厘米。（=3.14） 5.甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（　）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（　）米。 6.如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（　）米。 图3 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分） 7.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？ 8.一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，求M的值。 9.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。问她最多能买多少支？最少能买多少支？ 10.在3×3的方格纸上（如图4），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图5和图6是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。 11.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？ 12.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多少？ 一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分） 题目 1 2 3 4 5 6 答案 1989．5 9 728 18．84 2．4;2．1 1680 二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）： 7．解答：李家和王家各养了300头和221头牛． 算术解法： ①李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头． ②王家的牛群中有是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头． 代数解法： ①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程 100x+13y=521．…………………………………（*） ②x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=13．或者解同余方程（*）． （*）式两边除13， -4x=1，Mod（13）．…………………………（**） x=3是（**）式的解，得到y=13． 8．解答：M是3． ， ①把最简分数写成循环小数：， ， ②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求． 9．解答：小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔． 方法一： ①买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数． ②高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14(支) ③类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，