圆锥曲线中过焦点的弦长最值问题探究.pdfVIP

_______________________ 技法点拨 39 研究 圆锥曲线中过焦点的弦长最值问题探究 ■贾金庆 在解析几何教学中，圆锥曲线的弦长的计算问 探 究 二 过 椭 圆 焦 点 的 弦 长 最 值 问 题 题比较复杂。教材中涉及的主要是圆的弦长和拋物 对于过椭圆4 + 4 = 1 ( ab0)的右焦点 F( ，0) a2 b2 线的弦长，而椭圆和双曲线的弦长往往是要么所给 的弦 的曲线方程比较简单，要么是经过特殊点的弦长。然 ⑴当直线斜率不存在时，x=c ，代入到^ + 4 = 1 而我们通过圆内一个定点的弦长最小值的问题，可 a b 以进一步对其它圆锥曲线做类似的探究。 中得，尸 ± 义 關 = 萸 a a 我们知道，过圆 O 内一定点F (不同于圆心）的所 (2 )当直线斜率存在时，设直线A B 的方程是y = 有的弦长中，垂直于线段 OF的弦长最短，容易知道 k (x - c ) 代入到i +^=1 中得 ，（b2+a2k2)x2-2a2k2cx+ 最大值是圆的直径2r 。 a2 b2 探究 一 过 拋 物 线 焦 点 的 弦 长 最 值 问 题 2 2 2 2 2 2a k c a2k2c2-a2b2=0，Xi+X2= x，r x 2=a2k2c2-a2b2 ，由两 1 2 b2+a2k2 对于过拋物线y 2=2p ^ 0 )的焦点K t ，0)的弦 点间的距离公式得\A B \=姨(x2-x 1)2+(y 2-y 1)2 AB = V ( 1+k2)[ (Xi+X2)2-4xiX2] = ,^( 2,2 ) ，分子 b2+a2k2 (1)当直线斜率不存在时，% = 1 ，72=2/^1=户2, 分母都除以a2得 2 2 y =±p A\ B \=2p lAB^ ^ . ^ + L ，因为ab0，易证k2+1k2+ a 2 b2 (2)当直线斜率存在时，设直线A B 的方程是 (x - 皆 ） (k # 0)，代入y 2=2户x (p