数学分析课件PPT之第二章数列极限.pptVIP

§2.1 数列极限的概念 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 收敛的否定: 五 数列极限的记註: 1 满足条件 “ ”的数列: 。 2 六 无穷小数列: 定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0） §2.2 收敛数列的性质 1、唯一性 2、有界性 3、保号性 4、保不等式性 5、四则运算 6、迫敛性 7、子数列的收敛性 §2.3 数列极限存在的条件 一 数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则 三 关于极限 四 数列 单调有界证法欣赏 例2 解 由夹逼定理得 6 绝对值收敛性: ( 注意反之不成立 ). 推论 设数列 { } 和 { } 收敛, 则 7数列极限的四则运算法则 定理2.8 设有数列{xn}和{yn}? 如果 那么 例5 求 例4 求 解： 分 a=1， |a|1， |a|1 三种情况 解：（分子有理化） 例3 求 8、子数列的收敛性 注意： 例如， 定理7 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 例6 对于数列xn 证 此时有 此时有 总之： 恒有 Th ( 数列收敛充要条件 ) { } 收敛 { Th ( 数列收敛充要条件 ) { } 收敛 子列 { } 和 { 收敛于同一极限. } 的任何子列收敛 于同一极限. } Th ( 数列收敛充要条件 ) { } 收敛 子列 { }、{ } 都收敛. 和 { 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 不等式性; (6), 收敛数列与其子列的关系. 一 单调有界原理 定义 称为单调上升的，若 称为单调下降的，若 单调增加和单调减少数列统称为单调数列? 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？ M 定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限? 定理1的几何解释 x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例? 数列的点只可能向右一个方向移动? 或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点A? 而对有界数列只可能后者情况发生? 数列极限存在的条件 ③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。 在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε n ＞ N ④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式 都成立， 而对 则不要求它们一定成立 数列极限的几何意义 使得 N 项以后的所有项 都落在a点的ε邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定