数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数.pptVIP

第十三章 函数列与函数项级数 问题的提出 （一）函数项级数的一般概念 2.函数项级数的一致收敛性 五、小结 2.连续性定理 第十三章习题课 函数项级数的一致收敛性 一致收敛级数的基本性质 证 例4 证明级数 证 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的. 5. 点态收敛 函数项级数（或函数序列）的基本问题 一致收敛性判别 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 13.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质 一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质 一. 一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定理 2.连续性定理 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 即极限次序可换 . 3. 可积性定理 4. 可微性定理 （ 对第二项交换极限与积分次序） 亦即求导运算与极限运算次序可换. 二 函数项级数的性质 1.逐项求极限定理 定理13.12 证 (1) (2) 同样有 (3) 由(1)、(2)、(3)可见, 定理13.13 (4) 3.逐项求积定理 证 根据极限定义，有 即 定理13.14 (5) 4.逐项求导定理 注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导. 例如，级数 逐项求导后得级数 所以原级数不可以逐项求导． 一、主要内容 二、典型例题 * * * 13.1 一致收敛性 一 点态收敛 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 四 一致收敛性判别 五 小结 问题: 1.定义: 一 点态收敛 现在我们将级数的概念从数推广到函数上去. 2.收敛点与收敛域: 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 3.和函数: (定义域是?) 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. 原级数发散. 收敛; 发散; 4.函数项级数与其部分和 在本质上是完全一致的。 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 1.极限运算与无限求和运算交换次序问题 2.求导运算与无限求和运算交换次序问题 3.极限运算与无限求和运算交换次序问题 1.函数列及其一致收敛性 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 定义 x y o 几何解释: 例2 解 余项的绝对值 例3 研究级数 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 对于任意一个自然数 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 在( 0, 1 )内处处 在( 0, 1 )内各点处收 收敛于 敛于零的“快慢”程度是不一致的． (1,1) 1 小结　一致收敛性与所讨论的区间有关． 三一致收敛性判别 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 2.一致收敛的柯西准则 1．用定义 由上确界的定义，亦有 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 定理13.5（Weierstrass判别法） 4.一致收敛性简便的判别法： * 设是定义在上的函数,则 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数. 如果,数项级数收敛, 则称为级数的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域, 在收敛域上,函数项级数的和是的函数, 称为函数项级数的和函数. 例1 求级数的收敛域. 有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？ 设有函数项级数．如果对于任意给定的正数，都存在着一个只依赖于的自然数，使得当时，对区间上的一切，都有不等式 成立，则成函数项级数在区间上一致收敛于和，也称函数序列在区间上一致收敛于． 只要充分大,在区间上所有曲线将位于曲线 与之间. 研究级数 在区间上的一致收敛性. 对于任给，取自然数， 则当时，对于区间上的一切， 根据定义， 所给级数在区间上一致收敛于 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和，但并不一致收敛． 取，于是 只要取，不论多么大，在(0,1)总存在 点， 如果函数项级数在区间上满足条件: ; (2) 正项级数收敛, 则函数项级数在区间上一致收敛. 由条件(2)，对任意给定的，根据柯西审敛原理存在自然数，使得当时，对于任意的自然数都有 由条件(1)，对任何，都有 令,则由上式得 . 因此函数项级数在区间上一致收敛. 在上一致收敛. 　在内 级数收敛， 由魏尔斯特拉斯判别法， 所给级数在内一致收敛． 函数列在数集上一致收敛的充要条件是： 对任给的正数，