数学分析课件PPT之十七章多元函数微分学.pptVIP

第十七章 多元函数微分学 一、全微分的定义 二、偏导数的定义及其计算法 三、可微的条件 曲面的切平面与法线 全微分在近似计算中的应用 五、小结 一、链式法则 一 问题的提出 三、小结 一、高阶偏导数 2 条件极值拉格朗日乘数法 小结 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 驻点 偏导数存在的极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 例3 求函数 的极值。 解 求解方程组： 得驻点 因此，驻点 因此，驻点 因此，驻点 利用直线方程可将方向导数的定义 表示为: 射线 l 的方程为 则 故 比较方向导数与偏导数的概念 在方向导数中，分母 ； 在偏导数中，分母 、 可正、可负。 即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时， 方向导数与偏导数的概念也是不同的。 方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？ 怎么计算方向导数？ 看看三维空间的情形 定理(方向导数导计算公式) 若函数 在点 处可微， 则函数 在点 处 沿任一方向 的方 向导数存在，且 其中, 各导数均为在点 处的值. 运用向量的数量积，可将方向 导数计算公式表示为： 其中， 称为梯度 在 中 在 中 可统一表示为 设 , 求函数在点 沿方向 的方向导数。 解 例 由点 到坐标原点的距离定 义的函数 在坐标原点处 的两个偏导数均不存在，但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在，且方 向导数值都等于1： 想一想，该例给你什么启示 函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。 方向导数存在时，偏导数不一定存在。 例 一个问题： 在给定点 沿什么方向增加得最快？ 该问题仅在 不同时为零才有意义。 可微函数 三、 梯度 由前面的推导，有 现在正式给出 的定义 grad u 由此可得出什么结论？ 方向导数等于梯度在此方向上的投影 定义 设 则称向量 为函数 在点 处的梯度，记为 或 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 设 求 并求在 点 处方向导数的最大(小)值。 解 ∵ ∴ 从而 例1 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） §4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 解 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 解 二? 中值定理和泰勒公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????. Taylor公式 二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 例1 例２ 例３ (3) (2) (1) 2、多元函数取得极值的条件 证 解 由公式得 解 设黄铜的比重为 圆柱体的体积为 １、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ５、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系． （注意：与一元函数有很大区别） （偏增量比的极限） ３、偏导数的定义； ４、偏导数的定义，偏导数的几何意义； 思考题 思考题解答 不能. 例如, §2 复合函数微分法 一、链式法则 二、复合函数的全微分 证 证略。 复合函数的求导法则 1、z u v x 型 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元 函数的情况： 2、z u v x y 型 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 区别类似 解 z u v t t 型 解 z u v x y 型 解 解 令 则 z u x y 型 解 令 记 w u v x y z 型 二阶偏 导连续 因此， 于是， 二、复合函数的全微分 （1）如果 u，v 是自变量，结论显然。 （2）如果 u，